Au stator

On fixe l'origine des temps de manière à pouvoir écrire :

${\displaystyle i_{A}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \alpha _{S}\,}$

On en déduit les courants des deux autres phases du stator :

${\displaystyle i_{B}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(\alpha _{S}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}$

${\displaystyle i_{C}(t)=I_{S}{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(\alpha _{S}+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}$

Avec : ${\displaystyle \alpha _{S}=\omega _{S}\cdot t\,}$, et ${\displaystyle \omega _{S}\,}$ : pulsation des courants statoriques.

Au rotor

Au rotor, il n'y a que le courant continu I_r alimentant la bobine du rotor par l'intermédiaire d'un contact glissant sur deux bagues collectrices.
Il n'y a pas de glissement dans le cas d'une machine synchrone.

Remarque

Si le rotor est constitué d'un aimant, on considérera une bobine produisant un moment magnétique équivalent, c’est-à-dire traversée par un courant I_r que l'on détermine à l'aide de la méthode d'Hopkinson (application du théorème d'Ampère à un circuit magnétique).

C’est-à-dire :

${\displaystyle L_{a}\,}$ la longueur de l'aimant

${\displaystyle S_{a};S_{b}\,}$ respectivement la section moyenne de l'aimant et celle de la bobine

On pose :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{b}={\mathcal {M}}_{a}\,}$

${\displaystyle NI_{r}.S_{b}=H.L_{a}.S_{a}\,}$

En supposant que la bobine et l'aimant ont la même section, on obtient :

${\displaystyle NI_{r}={\frac {B_{r}.L_{a}}{\mu _{0}}}\,}$

Flux à travers un enroulement statorique

${\displaystyle \Phi _{A}=L_{S}i_{A}+M_{S}i_{B}+M_{S}i_{C}+M_{rS}\cos \theta \cdot I_{r},}$

Comme :

${\displaystyle i_{A}+i_{B}+i_{C}=0\,}$, alors ${\displaystyle M_{S}i_{B}+M_{S}i_{C}=-M_{S}i_{A}\,}$,

${\displaystyle \Phi _{A}=(L_{S}-M_{S})i_{A}+M_{rS}\cos \theta \cdot I_{r},}$

On pose

• ${\displaystyle (L_{S}-M_{S})={\mathcal {L}}_{S}\,}$ : inductance cyclique

L'expression du flux devient alors

${\displaystyle \Phi _{A}={\mathcal {L}}_{S}i_{A}+M_{rS}\cos \theta I_{r}\,}$

l'expression du nombre complexe représentant le flux est

${\displaystyle {\underline {\Phi }}_{A}={\mathcal {L}}_{S}{\underline {i}}_{A}+M_{rS}{\underline {I}}_{r}\,}$

avec ${\displaystyle {\underline {I}}_{r}\,}$ la représentation complexe d'un courant sinusoïdal « fictif » de valeur maximale ${\displaystyle I_{r}\,}$ et de pulsation ${\displaystyle \theta =\omega t\,}$.

En toute rigueur, cette substitution n'est valable qu'en régime établi : aucune modification de la charge ou de l'alimentation. C'est une condition nécessaire pour affirmer que la fréquence de rotation est exactement égale à la fréquence de l'alimentation.

Flux à travers un enroulement rotorique

Le flux traversant le rotor est le résultat de deux champ magnétiques :

• le champ tournant, créé par les enroulements statoriques ;
• le champ propre, créé par l'enroulement rotorique qui est constant (courant continu) mais qui tourne mécaniquement à la même vitesse que le précédent (machine synchrone). Avec la même limite qu'au paragraphe précédent : aucune modification de la charge ou de l'alimentation.

Tension aux bornes d'une phase du stator

${\displaystyle \ V_{A}=R_{S}.I_{A}+{\frac {d\Phi _{A}}{dt}}\,}$

${\displaystyle {\underline {V}}_{A}=(R_{S}+j\omega _{S}{\mathcal {L}}_{S}){\underline {I}}_{A}+j\omega _{S}{\mathcal {M}}_{rS}{\underline {I}}_{r}\,}$

On pose ${\displaystyle E_{av}}$ la tension à vide, c’est-à-dire la tension lorsque ${\displaystyle {\underline {I}}_{A}=0}$ (tension créée par le seul champ rotorique)

${\displaystyle {\underline {V}}_{A}=(R_{S}+j\omega _{S}{\mathcal {L}}_{S}){\underline {I}}_{A}+{\underline {E}}_{av}\,}$