Définitions

Le n-ième nombre triangulaire s'obtient en ajoutant n au précédent et est donc la somme des entiers de 1 à n.

Formellement, les nombres triangulaires sont définis à partir d'une suite, notée (t_n) dans cet article, où n est un indice^[2] parcourant les entiers strictement positifs :

Une autre manière de définir cette suite est de le faire par récurrence. Les deux formulations sont équivalentes :

Définition^[5] — La suite des nombres triangulaires est définie par :

${\displaystyle t_{1}=1\quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad t_{n}=1+2+\cdots +(n-1)+n=t_{n-1}+n.}$

Chez les Pythagoriciens, le quatrième nombre triangulaire, c'est-à-dire 10, est nommé tetraktys. Il dispose d'une dimension symbolique^[6].

Remarque : Le choix de ne pas définir le nombre triangulaire d'indice 0 se justifie historiquement, le zéro n'existant pas chez les Grecs de l'Antiquité. Cette convention est choisie pour certaines présentations didactiques^[3]. Elle est aussi choisie historiquement dans l'encyclopédie de Diderot et D'Alembert pour tous les nombres figurés^[7]. Mais elle n'est pas toujours suivie. Si l'on admet 0 comme nombre triangulaire, tout entier positif est somme de trois nombres triangulaires. Cette raison pousse Fermat et Gauss à choisir d'accepter 0 comme nombre triangulaire^[8].

Méthodes de calcul

Le double du n-ième nombre triangulaire (que l'on peut appeler le n-ième nombre oblong) est représenté par un rectangle n × (n + 1).

Une vieille méthode de calcul provient de l'école pythagoricienne^[9]. Les Grecs de cette époque usaient de géométrie pour résoudre les questions de cette nature. Cette approche est qualifiée d'arithmétique géométrique. La figure de droite permet de comprendre comment ils calculaient le 8^e nombre triangulaire. La zone rouge de la figure correspond à ce nombre, c'est-à-dire la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. À cette zone rouge, on accole la zone bleue de la figure, contenant exactement le même nombre de pastilles que la rouge. La zone bleue et rouge contient un nombre de pastilles égal à deux fois le 8^e nombre triangulaire. Or cette zone est un rectangle de base 9 et de hauteur 8. Le double du 8^e nombre triangulaire est égal à 8 × 9 = 72 donc ce 8^e nombre est égal à 36. On retrouve bien la formule annoncée en introduction :

${\displaystyle t_{n}=1+2+\cdots +(n-1)+n={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Cette formule se réinterprète comme l'expression du n-ième nombre triangulaire sous la forme d'un coefficient binomial :

${\displaystyle t_{n}={n+1 \choose 2}.}$

Il en existe une preuve directe sans mots, par bijection entre les pastilles du triangle et les paires contenues dans un ensemble à n + 1 éléments^[10].

Pour d'autres preuves, purement algébriques, voir l'article Somme (arithmétique), § « Somme des premiers entiers ».

Somme de deux nombres triangulaires consécutifs

La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré.

La figure de droite montre que la somme du quatrième et du cinquième nombre triangulaire forme le cinquième carré parfait, c'est-à-dire 25. Ce résultat n'est pas uniquement vrai pour la valeur cinq :

La formule précédente permet d'établir ce résultat :

${\displaystyle t_{n}+t_{n-1}=2t_{n-1}+n=n(n-1)+n=n^{2}.}$

Un nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires

Cas pair.

Cas impair.

Les deux graphiques ci-contre indiquent que le n-ième nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires. Ceci est vrai quelle que soit la parité de l'indice n. En effet, t₁₄ est la somme de trois fois t₇ et de t₆ et t₁₅ est la somme trois fois t₇ et de t₈. Cette proposition s'exprime de la manière suivante :

Proposition^[5] — À partir de l'indice 3, tout nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires. Plus précisément : pour tout entier n ≥ 2,

${\displaystyle t_{2n-1}=3t_{n-1}+t_{n}\quad {\text{et}}\quad t_{2n}=3t_{n}+t_{n-1}.}$

En effet :

${\displaystyle (3t_{n}+t_{n-1})+(3t_{n-1}+t_{n})=4(t_{n}+t_{n-1})=4n^{2}=(2n)^{2}=t_{2n}+t_{2n-1},}$

${\displaystyle (3t_{n}+t_{n-1})-(3t_{n-1}+t_{n})=2(t_{n}-t_{n-1})=2n=t_{2n}-t_{2n-1}.}$

Un carré parfait avec un unique nombre triangulaire

La somme de 8 fois un nombre triangulaire et de 1 est un nombre carré.

La figure de droite montre qu'il est possible d’emboîter huit nombres triangulaires d'indice 7 pour former un carré de côté 15, auquel il manque la pastille centrale, en gris sur la figure ; résultat qui se généralise à tous les carrés de nombres impairs :

Proposition^[5] — Pour tout entier n > 0, le carré parfait (2n + 1)² est la somme de 8 fois t_n et de 1 :

${\displaystyle 8t_{n}+1=(2n+1)^{2}.}$

En effet, ce résultat est directement l'application d'une identité remarquable :

${\displaystyle (2n+1)^{2}-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)=8t_{n}.}$

Cube et nombre triangulaire

Un autre résultat traite des cubes. Il s'énonce ainsi :

Il est redécouvert par le mathématicien perse Al-Karaji^[13], qui le démontre sur l'exemple n = 10 en considérant des gnomons et l'exprime d'une manière équivalente :

Généralisations

Si, au lieu de calculer la somme des n premiers nombres entiers strictement positifs, on calcule les n premiers carrés strictement positifs que l'on appelle c_n, on obtient :

${\displaystyle c_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$

L'intuition de l'exactitude de cette formule est donnée par la preuve sans mots suivante^[14] :

Chacune des trois pyramides a pour volume la somme des carrés de 1 à n (n = 4 dans cette illustration) ; le parallélépipède final est de côtés n, n + 1 et n + 1/2.

Ce résultat se généralise pour la somme des n premières puissances strictement positives. Cette somme porte le nom de formule de Faulhaber. Il est aussi possible de généraliser en considérant le nombre de points s_n,d contenus dans un simplexe dont les côtés sont de longueurs n, dans un espace de dimension d. On obtient :

${\displaystyle s_{n,d}={\frac {n(n+1)\cdots (n+(d-1))}{d!}}.}$

Entier somme de trois nombres triangulaires

En 1638, Fermat affirma détenir une preuve du fait que tout entier est somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer zéro comme un nombre triangulaire) et même d'une généralisation (le théorème des nombres polygonaux de Fermat, finalement démontré par Cauchy en 1813) et proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique^[15], mais aucun livre ne parut^[16]. En 1796^[17], Gauss découvrit la preuve suivante^[8].

La démonstration ici n'est pas géométrique. L'arithmétique telle qu'on la concevait à l'époque de Pythagore est impuissante pour prouver des résultats de cette nature. La partie difficile de la preuve est le théorème des trois carrés de Legendre, qui a pour conséquence que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est somme de trois carrés parfaits. Soit M un nombre entier positif, 8M + 3 est somme de trois carrés. De plus chaque carré de la somme est impair, sinon leur somme ne serait pas congrue à 3 modulo 4. On en déduit l'existence de trois entiers x, y et z tels que :

${\displaystyle 8M+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}=8\left({\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}\right)+3.}$

Cette dernière égalité implique le résultat recherché : M est la somme des trois nombres triangulaires d'indices x, y et z.

Articles connexes

• Équation de Ramanujan–Nagell
• Ensemble triangulaire
• Nombre ennéagonal centré (sous-suite des nombres triangulaires d'indices congrus à 1 modulo 3, c'est-à-dire les nombres triangulaires congrus à 1 modulo 9 — les autres étant divisibles par 3)
• Nombre hexagonal (sous-suite des nombres triangulaires d'indices impairs)
• Nombre triangulaire carré
• Nombre triangulaire centré
• Nombre tétraédrique

Bibliographie

(en) George E. Andrews, « EϒPHKA! num = Δ + Δ + Δ », J. Number Theory, vol. 23, n^o 3,‎ 1986, p. 285-293 (lire en ligne)