De l'énumération à l'abstraction

La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVII^e siècle^[5]) toute l'idée^[6] de nombre, est probablement issue de la notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de ce qu'il représente, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction mène alors à la considération de ces unités comme une collection d'unités^[7].

Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unités^[8] ».

Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	*

Construction par les cardinaux

Frege a songé (dans Les Fondements de l'arithmétique, 1884) à définir les entiers en termes de classe de bijectabilité.

Cette idée consiste à définir chaque entier n comme le rassemblement de tous les ensembles ayant n éléments.

Cette très séduisante définition se heurte au paradoxe de Russell si l'on souhaite, en vue d'un monisme ontologique, qu'un tel rassemblement soit, aussi, un ensemble.

Ceci car, sauf pour l'entier 0, identifié à l'ensemble contenant uniquement l'ensemble vide, pour tout autre entier n le rassemblement des ensembles ayant n éléments est une classe propre et donc n'est pas un ensemble.

La définition de Frege conduit donc à une impasse. Pour en sortir, les mathématiciens ont cherché à définir un représentant dans chaque classe de bijectabilité, appelé cardinal de chacun des éléments de la classe. Cela peut être réalisé par le τ de Hilbert^[9] ou par un axiome adéquat ^[10] garantissant la possibilité du choix d’un tel représentant dans chaque classe de bijectabilité. Un cardinal a est dit fini s’il est différent de a + 1. Les entiers naturels sont définis comme les cardinaux finis.

• 0 = Card(∅)
• 1 = Card ({a})
• 2 = Card ({a, b})

Construction par les ordinaux

Les entiers naturels peuvent être définis comme des ordinaux, c'est-à-dire, par la méthode de von Neumann, comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion. Les entiers naturels sont les ordinaux finis, ceux dont l'ordre réciproque est aussi un bon ordre, ou encore les ordinaux successeurs dont tous les minorants sont aussi des ordinaux successeurs.

Énonciation

La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.

Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deux^[11].

L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans dix-sept) ou de la multiplication (comme dans quatre-vingts) des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.

Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certaines puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.

Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de milliards… »

Écriture chiffrée

Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays à l'autre.

Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix, de façon que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par l'un des dix chiffres arabes de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de dix correspondantes.

L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires.

Codage

La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux^[12] ou d'autres symboles concrets, d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).

La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.

Représentation des opérations

En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la soustraction revient à retirer une collection d'une autre. Cette représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels^[13]) un nombre à un autre strictement plus petit.

La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs.

La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente le reste, nécessairement strictement inférieur au diviseur.

Multiple et diviseur

Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Nombre premier

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Existence

Quelle que soit la manière d’introduire les entiers naturels, l’existence d’un ensemble les contenant tous, repose sur une forme ou une autre de l’axiome de l’infini.

Si les entiers naturels sont introduits avant la théorie des ensembles, celle-ci étant construite comme une extension de l’arithmétique, l’axiome de l’infini sous sa forme la plus simple énonce : il existe au moins un ensemble (infini) contenant tous les entiers naturels^[14]. D’où l’existence de l’ensemble des entiers naturels par application de l’axiome de compréhension.

Si les entiers naturels sont introduits comme les cardinaux finis, l’existence peut être démontrée à partir de l’axiome : il existe au moins un ensemble infini^[9]. On montre que tout cardinal fini est inférieur au cardinal d’un ensemble infini. Par ailleurs le schéma d'axiomes de remplacement permet de montrer que pour tout cardinal, il existe un ensemble des cardinaux qui lui sont inférieurs. L’ensemble des cardinaux inférieurs au cardinal d’un ensemble infini contient donc tous les entiers naturels.

Si les entiers naturels sont introduits par la méthode de Von Neumann, l’existence résulte directement de l’axiome de l’infini sous la forme : Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x ↦ x ∪ {x} . L’ensemble des entiers naturels est alors l’intersection de tous les ensembles vérifiant cette propriété.

Notations

N ${\displaystyle ,\mathrm {I_{\,}\!\!N} ,\mathbb {N} ,\mathbb {N} ^{*},\mathbb {N} _{1}}$ pour ${\displaystyle \{1,2,\ldots \}}$

N, ${\displaystyle \mathrm {I_{\,}\!\!N} ,\mathbb {N} ,\mathbb {N} _{0}}$ pour ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} _{\neq 0},\mathbb {N} _{>0}}$ pour ${\displaystyle \{1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} _{\geq 0}}$ pour ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.

En 1894, Giuseppe Peano utilise les notations « N » pour « nombre entier strictement positif » et « N₀ » pour « nombre entier positif ou nul » dans ses Notations de logique mathématique^[15],[16] qui servent d'introduction à son grand projet de formalisation des mathématiques, le Formulaire de mathématiques. Il l'utilise comme prédicat une notion très proche de celle d'ensemble. Ainsi Peano écrit « x ε N » (qu'on écrit aujourd'hui « ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ ») ce qui pour lui se lit « x est un nombre entier strictement positif ».

La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie devient « N », lettre capitale grasse. En écriture manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été distingué de la lettre « N » utilisée pour d'autres usages par le doublement de la première barre verticale, ou de la barre oblique, « ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ». Ce dernier choix a été adopté pour la police gras de tableau noir. L'édition mathématique moderne utilise maintenant les caractères « doublés », mais l'usage du gras typographique perdure également.

Théorie des ensembles

Le plus petit ordinal infini est la borne supérieure de tous les ordinaux finis, qui sont les entiers naturels. Il a été introduit par Georg Cantor qui l'a noté ω (lettre minuscule grecque oméga) ou ω₀. John von Neumann a montré que les ordinaux pouvaient être définis de façon à identifier un ordinal à l'ensemble de ses minorants stricts, et l'ordinal ω s'identifie alors à l'ensemble des entiers naturels (un entier naturel étant lui-même identifié à l'ensemble des entiers naturels qui lui sont strictement inférieurs). En théorie des ensembles, la lettre ω est donc aussi utilisée pour désigner l'ensemble des entiers naturels. L'axiome de l'infini permet de montrer l'existence de cet ensemble.

Un ensemble dénombrable est un ensemble qui a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels (on précise parfois « infini dénombrable », dénombrable pouvant aussi signifier « fini ou de même cardinal que N »). Le cardinal du dénombrable, celui de N, est le plus petit cardinal infini, il est noté ℵ₀, aleph-zéro.

En théorie des ensembles, formellement ℵ₀, se définit comme le plus petit ordinal infini dénombrable, soit ω, et donc à nouveau comme l'ensemble des entiers naturels.

Propriétés

Les opérations d'addition et de multiplication étant associatives, commutatives, munies de neutres et satisfaisant une propriété de distributivité, l'ensemble des entiers naturels est un semi-anneau.

Il est ordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure de bon ordre, c'est-à-dire que toute partie non vide admet un plus petit élément. Cette propriété est à la base du raisonnement par récurrence.

L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est un ordre partiel.

Son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini, noté ℵ₀ (aleph zéro), définissant ainsi la notion de dénombrabilité. En effet, on dit d'un ensemble quelconque qu'il est dénombrable s'il existe une bijection de cet ensemble dans celui des entiers naturels. On se contente parfois d'une injection pour englober aussi les ensembles finis.

Axiomatique de Peano

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique. Richard Dedekind et Giuseppe Peano en ont proposé indépendamment des axiomatisations qui étaient essentiellement équivalentes. Il s'agissait d'axiomatisation que l'on dit parfois aujourd'hui du second ordre : la notion d'ensemble (ou de prédicat) est supposée connue et n'est pas prise en compte par l'axiomatisation. Voici une présentation moderne de ces axiomes (dits axiomes de Peano) :

1. L'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel^[17] ;
2. Tout entier naturel n a un unique successeur, souvent noté s(n) ou S n (ou autres variantes) ;
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur ;
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux ;
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide, le second que le successeur est une fonction, le quatrième que cette fonction est injective, le troisième qu'il possède un premier élément (ces deux axiomes assurent que l'ensemble des entiers naturels est infini). Le cinquième est une formulation du principe de récurrence.

Une propriété importante, démontrée par Richard Dedekind à partir de ces axiomes, est le principe de définition par récurrence. Il permet par exemple de définir les opérations usuelles.

Articles connexes

• Liste de nombres
• Nombre premier
• Nombre chanceux
• Nombre harmonique
• Nombre chromatique

Liens externes

• Nombres : curiosités, théorie et usages, site de G. Villemin