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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b[1] ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b][2].
On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.
Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs :
- si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
- si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :
Calcul
À l'aide de la décomposition en facteurs premiers
La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.
On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.
- Exemple
Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :
- 60 = 2×2×3×5 = 22×3×5 ;
- 168 = 2×2×2×3×7 = 23×3×7.
Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi PPCM(60, 168) = 23×3×5×7 = 840.
À l'aide du PGCD
Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD)[3] :
Alternativement, l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. première propriété ci-dessous — d'un multiple commun qui divise tous les autres :
Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.
- Exemple
- Avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60, 168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0. - Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.
Propriétés
Soient a, b, c trois entiers naturels non nuls.
Notes et références
- ↑ Cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert également pour la disjonction logique.
- ↑ La notation correspondante pour le PGCD est (a, b).
- 1 2 3 Pour une démonstration, voir par exemple « PPCM » sur Wikiversité (voir infra).
- ↑ (en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 64, , p. 251-264 (lire en ligne) (p. 253).
Voir aussi
Articles connexes
- Livre VII des Éléments d'Euclide
- Treillis (ensemble ordonné)