Équations du tore

Un tore peut être défini paramétriquement par^[2]:

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$

${\displaystyle y(u,v)=r\sin {v}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$

ou bien

${\displaystyle x(u,v)=(r\cos {u}\cos {v})+(R\cos {v})\,}$

${\displaystyle y(u,v)=r\sin {v}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=(r\cos {u}\sin {v})+(R\sin {v})\,}$

où

u et v appartiennent à l'intervalle [0, 2π[,

R est la distance entre le centre du tube et le centre du tore,

r est le rayon du cercle C.

En sommant les carrés

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}+2Rr\cos {v}+r^{2}\,}$

On isole ${\displaystyle \cos {v}\,}$ et on élève à nouveau au carré

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=(2Rr\cos {v})^{2},}$

Ne reste plus alors qu'à injecter :

${\displaystyle z^{2}=r^{2}\sin ^{2}{v}\,}$

Pour obtenir finalement :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}r^{2}(1-\sin ^{2}{v})\ ,}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(r^{2}-z^{2})\ ,}$

Une autre équation cartésienne pour un tore symétrique par rapport à l'axe z est

${\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!}$

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient une équation du 4^e degré.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

Aire et volume

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Pour R-r positif ou nul, on a :

• Aire du tore : ${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }R\,{\text{d}}\theta \;\left(\int \limits _{0}^{2\pi }r\,{\text{d}}\theta \right)=4\pi ^{2}rR}$

• Volume intérieur du tore : ${\displaystyle V=\int \limits _{0}^{2\pi }R\,{\text{d}}\theta \;\left(\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{r}r\,\mathrm {d} r{\text{d}}\theta \right)=2\pi ^{2}r^{2}R}$

Les théorèmes de Guldin permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r).

Groupe des isométries

Pour R > 0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

• les rotations r_u d'axe (supposé orienté) D et d'angle u ;
• le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
• le retournement b_Q par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
• la symétrie centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
• les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
• les composées d'une rotation r_u par le retournement a.

Évidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S¹ par Z/2Z :

${\displaystyle G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)}$.

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

• r_u correspond à (0,u,0) ;
• a correspond à (1,0,0) ;
• Pour un plan Q fixé arbitraire, b_Q correspond à (0,0,1).

En particulier, b_ru(Q)=r_ub_Qr_-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0).

Cercles de Villarceau

Section du tore par un plan passant par son centre. La section est constituée de deux cercles pour trois valeurs de l'angle du plan avec celui du tore : lorsqu'il est confondu au plan du tore, lorsqu'il lui est perpendiculaire et lorsqu'il est bitangent. Dans ce cas, la section est constituée des deux cercles de Villarceau

Les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien français Yvon Villarceau (1813–1883). Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.

Colorier un tore

Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement.

Le théorème des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche les 6 autres. Le théorème de Ringel–Youngs permet de montrer que 7 couleurs suffisent toujours.

Caractéristique d'Euler d'un tore

La caractéristique d'Euler d'un tore est égale à 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularité.

Applications

• En recherche nucléaire pour la production d'énergie par fusion, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des chambres à vide des accélérateurs de particules du type synchrotron (en négligeant les canaux d'entrée et de sortie).
• En électricité, la forme idéale du circuit magnétique d'un transformateur est celle du tore.

Articles connexes

• Bouteille de Klein
• Cercles de Villarceau
• Complexe simplicial
• Plan projectif
• Tore non commutatif
• Tore de Stanford
• Conjecture de Willmore
• Tube (mathématiques)
• Univers en tore bidimensionnel.

Liens externes

• Torus Games Quelques jeux téléchargeables gratuitement, fonctionnant sous Windows et Mac OS X, qui détaillent la topologie du tore
• [vidéo] Henri Paul de Saint-Gervais, Revêtement universel du tore sur YouTube
• Hélice toroïdale (en) : « Des chercheurs du MIT ont trouvé comment réduire le bruit énervant des drones quadricoptères, en remplaçant les pales droites par des pales toroïdales », sur Futura, 30 janvier 2023 (consulté le 12 mai 2023)

Bibliographie

• (en) Meserole, J.S., A. Fortini (1987), “Slosh Dynamics in a Toroidal Tank,” Journal Spacecraft, Volume 24, Number 6, November-December 1987 (résumé)
• (en) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Nonlinear liquid oscillation in a cylindrical tank with an eccentric core barrel. Journal of Fluids and Structures, Volume 35, November 2012, Pages 120–132 (résumé
• (en) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Frequency response of sloshing in an annular cylindrical tank subjected to pitching excitation. Journal of Sound and Vibration 331:13, 3199-3212 ; En ligne: 2012-06-01. (résumé)