Les différentes configurations

Trains sphériques

Schéma d'un différentiel : le porte satellite (en bleu) constitue l'entrée du dispositif et les deux planétaires (rouge et jaune) les sorties dont les vitesses de rotation peuvent être différentes.

C'est la configuration adoptée dans le différentiel automobile. L'axe de rotation des satellites (souvent par deux) est perpendiculaire à celui des planétaires^[5]. De ce fait, les engrenages sont coniques. Les satellites entraînent les planétaires en rotation.

Si les deux planétaires présentent la même résistance à l'effort, les satellites ne tourneront pas. Le couple transmis vers chaque planétaire sera alors le même.

Si la résistance à l'effort est différente, les planétaires se décalent en vitesse (un planétaire tournera plus vite que l'autre) grâce à la rotation des satellites.

Problèmes technologiques

• Hyperstatisme (implication sur les liaisons, nombre de satellites).
• Nombres de dents admissibles (critère géométrique, problème de montage en particulier avec satellites à denture multiple).
• Difficulté de représentation sur les dessins d'ensemble.

Applications

Train épicycloïdal d'un broyeur à végétaux.

• Machine à calculer de Blaise Pascal^[6] : la pascaline.
• Moyeu à vitesses intégrées des vélos.
• Différentiels de voitures^[4].
• La plupart des boîtes de vitesses automatiques d'automobiles et certaines boîtes mécaniques (Ford modèle T par exemple).
• Transmission électro-mécanique type HSD des voitures hybrides (Toyota, Lexus, Ford, Volvo...).
• Multiplicateurs de vitesse de rotation des éoliennes permettant au générateur, qui lui est lié, de fournir la bonne fréquence au réseau électrique.
• Outillage de jardin (broyeurs à meule^[7] pour les végétaux par exemple).
• Hélicoptères.
• Turboréacteurs à double flux avec turbosoufflante à engrenages.

Principe et architecture

Schéma de principe d'un étage de réducteur épicycloïdal.

À partir du train le plus simple (type I), on élimine une mobilité en fixant le planétaire extérieur (ou couronne), par exemple à l'aide d'un embrayage.

L'arbre d'entrée est connecté au planétaire intérieur. En tournant, il force le satellite à rouler à l'intérieur de la couronne. Dans son mouvement, celui-ci entraîne le porte satellite comme s'il s'agissait d'une manivelle. Le porte-satellites constitue l'arbre de sortie du dispositif. Dans cette configuration la sortie tourne dans le même sens et moins vite que l'entrée.

Rapport de transmission

Épure pour la détermination du rapport de transmission. Repères de pièces :
1 : bâti (couronne extérieure fixe) ;
2 : arbre d'entrée ;
3 : satellite ;
4 : porte-satellites (arbre de sortie).

Pour un dispositif de transmission de puissance, en particulier les réducteurs, le rapport de transmission constitue la caractéristique principale. Il s'agit du rapport de la vitesse (ou fréquence) de rotation de l'arbre de sortie, sur celle de l'arbre d'entrée. Inférieur à 1 dans les cas d'une réduction, on le remplace souvent par son inverse, le rapport de réduction.

${\displaystyle R={\frac {N_{\mathrm {sortie} }}{N_{\mathrm {entr{\acute {e}}e} }}}={\frac {\omega _{\mathrm {sortie} }}{\omega _{\mathrm {entr{\acute {e}}e} }}}={\frac {1}{d}}}$

où :

• ${\displaystyle R}$ est le rapport de transmission (adimensionnel) ;
• ${\displaystyle d}$ est le taux de réduction (adimensionnel, souvent indiqué dans les catalogues de constructeurs sous la forme 1:d) ;
• ${\displaystyle \omega }$ est la vitesse angulaire en rad/s.

Dans le cas présent, le rapport de transmission est donc :

${\displaystyle R={\frac {N_{4/1}}{N_{2/1}}}={\frac {\omega _{4/1}}{\omega _{2/1}}}}$

La considération des conditions de non glissement dans les engrenages :

• rotation sans glissement en I entre 2 et 3: ${\displaystyle V(I_{2/3})=0}$
• rotation sans glissement en J entre 1 et 3: ${\displaystyle V(J_{1/3})=0}$

et des propriétés de la liaison pivot entre le satellite et son support donne de plus les relations :

• non glissement en I entre 2 et 3: ${\displaystyle V(I_{2/1})=V(I_{3/1})}$
• non glissement en J entre 1 et 3: ${\displaystyle V(J_{3/1})=V(J_{1/1})=0}$ Donc J est centre de rotation de 3 par rapport à 1.
• pivot de centre A entre 3 et 4: ${\displaystyle V(A_{3/1})=V(A_{4/1})}$

Tous les éléments étant animés d'un mouvement de rotation (permanente ou instantanée) par rapport à 1, on peut écrire les lois de répartition des vitesses, ou champs des vitesses, avec la formule de composition des vitesses. En particulier :

• rotation de 2 autour de O: ${\displaystyle V(I_{2/1})=OI\cdot \omega _{2/1}}$
• rotation de 4 autour de O: ${\displaystyle V(A_{4/1})=OA\cdot \omega _{4/1}}$
• rotation de 3 autour de J: ${\displaystyle V(I_{3/1})=JI\cdot \omega _{3/1}=2V(A_{3/1})}$

${\displaystyle V(A_{4/1})=V(A_{3/1})={\frac {1}{2}}V(I_{3/1})={\frac {1}{2}}V(I_{2/1})}$

soit :

${\displaystyle OA\cdot \omega _{4/1}={\frac {1}{2}}\cdot OI\cdot \omega _{2/1}}$

On peut donc extraire l'expression du rapport :

${\displaystyle R={\frac {\omega _{4/1}}{\omega _{2/1}}}={\frac {OI}{2OA}}}$

Dans un engrenage standard, les diamètres sont proportionnels aux nombres de dents (Z) des pignons. En posant la relation de Chasles ${\displaystyle OA=OI+IA}$, avec OI le rayon primitif du planétaire d'entrée, et IA le rayon primitif du satellite, l'expression du rapport de transmission devient :

${\displaystyle R={\frac {\omega _{4/1}}{\omega _{2/1}}}={\frac {Z_{2}}{2(Z_{2}+Z_{3})}}={\frac {Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}}}}$

Avec :

• ${\displaystyle Z_{1}}$ : la couronne planétaire ;
• ${\displaystyle Z_{2}}$ : le planétaire ;
• ${\displaystyle Z_{3}}$: le satellite.

Par exemple un planétaire de 11 dents attaquant un satellite de 22 dents, donc deux fois plus gros, constitue un réducteur avec un rapport de réduction de 6. Cela est possible avec un engrenage classique que si la roue réceptrice est six fois plus grosse que le pignon d'attaque. À titre de comparaison, si on prend un engrenage classique avec le même pignon d'attaque (à 11 dents) l'encombrement radial de ce réducteur est de 77 dents (11+66) alors que le train épicycloïdal n'occupe que 55 dents (11+2×22), sans compter les problèmes de guidage liés aux efforts induits.

Note

l'encombrement réel est obtenu en multipliant le nombre de dents par le module de denture adopté.

Le résultat précédent peut être retrouvé à l'aide de la formule de Willis :

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{pe/ba}}-\omega _{\text{ps/ba}}}{\omega _{\text{pi/ba}}-\omega _{\text{ps/ba}}}}=(-1)^{p}{\frac {\prod _{i}Z_{i}}{\prod _{j}Z_{j}}}}$

Avec :

• ba : Bâti ;
• pe : Planétaire extérieur ;
• pi : Planétaire intérieur ;
• ps : Porte-satellite ;
• ${\displaystyle p}$ : Nombre de contacts extérieurs dans les engrenages ;
• ${\displaystyle Z_{i}}$ : Nombre de dents des roues menantes ;
• ${\displaystyle Z_{j}}$ : Nombre de dents des roues qui sont menées.

Étages de réduction

Trois étages d'un réducteur épicycloïdal.

Ces réducteurs sont souvent constitués de plusieurs trains épicycloïdaux mis en cascade. L'arbre de sortie d'un réducteur devient l'arbre d'entrée du suivant. Le rapport global étant alors le produit des rapports intermédiaires, on obtient dès trois étages, des réductions dans un rapport supérieur à 100, et atteignant facilement 1 000 dès le quatrième étage. Par exemple, avec quatre étages au rapport ¹⁄₆, on obtient une réduction de 1 296.

Notes

Références

Articles connexes

• Engrenage

Liens externes

• Vidéo d'un train épicycloïdal en mouvement, monté sur réducteur avec moteur hydraulique.
• Brevet Véhicule hybride