الدالة المحدودة

نقول ان الدالة محدودة إذا كان لها حد علوي وحد سفلي. قبل البدء في البحث ما إذا كانت الدالة محدودة أو لا لابد ان تكون الدالة Aغير خالية ثم نبدأ في البحث عن حدود الدالة: •نقول عن الدالة Aانها محدودة من أعلى إذا وجدنا عدد ويحقق a≤u , , بالتالي نقول عن u انه حد علوي . •نقول عن الدالة A انها محدودة من أسفل إذا وجدنا عدد ويحقق v≤a , بالتالي نقول عن v انه حد سفلي . إذا كانت الدالة غير خالية وتحقق الشرطين السابقين نقول أن الدالة محدودة 1- الحد السفلي الحد السفلي لأي دالة بحيث A غير خالية ونجد عنصرi بحيث أن a∈A∀ i ≤a مثال:( A=(5,8 4 هو حد سفلي لـ (5.8) لأن 4≤a .

2-الحد علوي الحد العلوي لأي دالة بحيث a ∈A ∀ u ≥a, في المثال السابق نجد ان : 9 هي الحد العلوي لـ (5,8) لأن 9≥a

•إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أعلى إذا نقول ان A محدودة من أعلى . •إذا كانت المجموعة A معرفة بحيث وجدنا عدد واحد على الأقل يحدها من أسفل إذا نقول ان A محدودة من أسفل .

'''اصغر الحدود العليا (supremum)''' إذا كانت A محدودة من أعلى نقول عن u انه أصغر الحدود العليا إذا تحقق الشرطين التاليين : 1.U حد علوي في A بحيث أن u≥A 2.ليكن أي حد علوي , لابد أن يتحقق u≤v أي أن u أصغر الحدود العليا .

'''أكبر الحدود السفلى (infimum)''' إذا كانت A محدودة من أسفل نقول عن w انه أكبر الحدود السفلى إذا تحقق الشرطيين التاليين : w حد سفلي في A بحيث أن w≤A ليكن t أي حد سفلي . لابد ان يتحقق w≥t أي أن w أكبر الحدود السفلى .

▪ يشترط ان يكون الحد العلوي الأصغر وحيد بحيث إذا وجد أن u1 اصغر الحدود العلوية و u2 أيضاً اصغر الحدود العلوية , هذا يعني ان u1 = u2 وبالمثل مع الحد السفلي الأكبر .

▪ ليست جميع الدوال محدودة وكذلك ليست جميع الدوال محدودة من اتجاهين فالبعض منها تكون محدودة من أعلى فقط والبعض تكون محدودة من أسفل فقط .

مثال : {A={xϵR∶x>2

غير محدودة لأنها محدودة لأنها محدودة فقط من أعلى وليست محدودة من أسفل .

امثلة توضيحية :

هل الدوال التالية محدودة مع ذكر السبب ؟ 1) {A={2,3,4,5 نعم محدودة لأنها غير خالية وتحتوي على حد علوي وهو 5 وحد سفلي وهو 2 . 2)(A =(-∞,3 ليست محدودة لأنها محدودة فقط من طرف واحد أما الطرف الآخر فهو غير منتهي أي لايمكن أن تكون محدودة .

ملاحظات : إذا كانت v أي حد علوي من A فإن u ≤ v إذا كان z < u ؛بالتالي z ليست حد علوي لـ A إذا كانت z < u فلابد أن نجد عدد s أكبر من z لأن z ليست حد علوي . إذا كان ε > 0 فإنه يوجد aa ϵ A بحيث أن u-ε<aa مثال : إذا كانت A =(2,5] فإن اصغر الحدود العليا (sup) هو 5 واذا كانت A =(2,5) فإن أصغر الحدود العليا (sup) هو 5

نتيجة : مهما كانت الفترة مفتوحة أو مغلقة فأي sup=5

علاقة التمام علاقة التمام في مجموعة الأعداد الحقيقية R تنص على أن : كل مجموعة غير خاليه من الأعداد الحقيقية لها حد علوي تحتوي على sup

تمرين

لتكن S مجموعة محدودة في مجموعة الأعداد الحقيقية ( S C R ) ولتكن ( T C S ) و T غير خاليه ، أثبتي أن:

inf⁡〖 S ≤inf⁡〖 T ≤sup⁡〖 T ≤sup⁡S 〗 〗 〗 الحل: بما أن T C S و 0 ≠ T ، إذن T محدودة بالتالي inf T ≤ sup T ... (1) Inf S ≤ sup T لنرمز لها ب w

s € S , w ≤ s ♣ T C S ᵾ

w ≤ t ᵾ t € T w ≤ inf T inf S ≤ inf T ... (2) وبالمثل مع sup T ≤ sup S Inf S ≤ inf T ≤ sup T ≤ sup S وهو المطلوب إثباته ^[1]

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات