صيغ نيوتن-كوتس

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
وصف
الصيغ المغلقة
الصيغ المفتوحة
مراجع

في التحليل العددي، صيغ نيوتن-كوت أو قواعد نيوتن-كوت هي مجموعة من الصيغ المستعملة في التكامل العددي (يطلق عليه أيضا التربيعي) بالاعتماد على الكمية المكاملة على نقاط متساوية التباعد.^[1]^[2]^[3] تعود التسمية تقديرا لإسحق نيوتن وروجر كوتس.

وصف

بفرض أن الدالة ƒ المعرفة على [a, b] معلومة القيمة عند نقاط متساوية البعد x_i, لأجلi = 0, …, n, حيثx₀ = a وx_n = b. يوجد نوعان من صيغ نيوتن كوتس, "النوع المغلق" والذي يستخدم قيمة الدالة على جميع النقاط، و"النوع المفتوح" والذي لايستخدم قيمة الدالة عند جميع النقاط. النوع المغلق لصيغ نيوتن كوتس من الدرجة nينص بالصورة

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})

حيثx_i = h i + x₀, حيث h (تدعى بمقدار الخطوة) مساوية لـ (x_n − x₀) / n = (b − a) / n. تسمى w_i الأثقال.

الصيغ المغلقة

**صيغ نيوتن كوتس المغلقة**
الدرجة	الاسم العام	الصيغة	حد الخطأ
1	قاعدة المعين	${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	قاعدة سيمبسون	${\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	قاعدة 3/8 سمبسون	${\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	قاعدة بوول, أو قاعدة بود	${\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )$

الصيغ المفتوحة

**صيغ نيوتن كوتس المفتوحة**
الدرجة	الاسم العام	الصيغة	حد الخطأ
2	قاعدة المستطيل, أو قاعدة النقطة الوسطية	$(b-a)f_{1}\,$	${\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$
3	لا اسم	${\frac {b-a}{2}}(f_{1}+f_{2})$	${\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )$
4	لا اسم	${\frac {b-a}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}f^{(4)}(\xi )$
5	لا اسم	${\frac {b-a}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}f^{(4)}(\xi )$

مراجع

Pavel Holoborodko (2012-05-20). "Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)". مؤرشف من الأصل في 20 ديسمبر 201718 أغسطس 2015.
Booles Rule at Wolfram Mathworld - تصفح: نسخة محفوظة 24 يناير 2018 على موقع واي باك مشين.
Pavel Holoborodko (2011-03-24). "Stable Newton-Cotes Formulas". مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 201717 أغسطس 2015.

موسوعات ذات صلة :

موسوعة تحليل رياضي