متعدد حدود لاغرانج

كثير حدود لاغرانج أو متعدد حدود لاغرانج (Lagrange polynomial)‏: في التحليل العددي، هو استيفاء كثير الحدود لمجموعة محددة من النقاط بطريقة لاغرانج.^[1] اكتشف أولا بواسطة إدوارد ويرينغ في عام 1779 ثم أعيد اكتشافه من قبل ليونهارد أويلر في عام 1783.

بما أنه لايوجد إلا استيفاء واحد لكثير الحدود لمجموعة من النقاط، فمن الخطأ تسمية كثير الحدود باستيفاء لاغرانج لكثير الحدود (Lagrange interpolation polynomial). يجب أن يكون الاسم الأدق هو استيفاء كثير الحدود بطريقة لاغرانج (interpolation polynomial in the Lagrange form).

هذه الصورة تظهر استيفاء كثير الحدود التكعيبي L(x) لأربع نقاط ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9))، وهو مجموع كثيرات الحدود الأساسية y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) وy₃ℓ₃(x). استيفاء كثير الحدود يمر خلال جميع نقاط التحكم الأربعة، وكل كثير حدود أساسي يمر خلال نقطة التحكم الخاصة به ويكون صفرًا عندما x متعلقة بنقاط التحكم الثلاثة الأخرى

تعريف

ليكن لدينا مجموعة k + 1 من النقاط.

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

حيث لا تتساوى أي x_j لأي نقطتين، فيكون استيفاء كثير الحدود بطريقة لاغرانج هو التركيبة الخطية

${\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}$

لكثيرات حدود لاغرانج الأساسية

${\displaystyle \ell _{j}(x)=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}$

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات