نظرية التشعب

التشعب في الرياضيات (bifurcation)‏ هي التغير النوعي في سلوك نظام ديناميكي ما نتيجة تغيير أحد معاملاته parameter.^[1][2][3] مثال فزيائي على هذا السلوك هو مثلا عندما تضغط على قطعة خشبية في منتصفها وتعتبر القوة التي تضغط بها هي المعامل فترى أن الخشبة تتقوس وتغير شكلها إلى أن تصل القوة إلى قيمة معينة تسمى قيمة التشعب bifurcation value يتغير عندها سلوك الخشبة فتكسر. وتسمى النقطة التي يظهر فيها هذا السلوك أي في مثالنا نقطة تكسر الخشبة تسمى نقطة التشعب bifurcation point. ويتم عادة رسم هذا السلوك في مخطط يسمى مخطط التشعب bifurcation diagramm. أما طريقة حساب مكان ظهور هذا التغير في السلوك فهي مبينة أسفله. وتوجد العديد من الأنواع من التشعب أهمها:

• تفرع عقدة سرج saddel node
• تفرع حرج متعدي transcritical
• تفرع فرشاتي pitchfork
• تفرع هوبف Hopf bifurcation

إذا اعتبرنا المعادلة التفاضلية التالية:
${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\mu )}$
فإن النقطة التي يحدث فيها تغير نوعي في سلوك هذا النظام الديناميكي أو ما يعبر عنه رياضيا بمصطلح نقطة التشعب هي أولا نقطة توازن equilibrium point وثانيا نقطة يصير فيها تخطيط النظام أي مصفوفة جاكوبي التابعة له صفرا (في حالة تشعب في ال ${\displaystyle R^{1}}$) أو تحتوي على قيمة ذاتية ذات جزئ حقيقي يساوي صفرا(في حالة تشعب في ال${\displaystyle R^{2}}$). أي رياضياتيا:
${\displaystyle f(x)=0}$
و
${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=0}$

إذا لم يمكن إيجاد مثل هذه النقطة أو النقاط فإن النظام لا يحتوي على تشعب.

مخطط التشعب هو رسم لنقاط التوازن أو الاستقرار التي يحتلها النظام حسب قيمة المعامل

تشعب في ال ${\displaystyle R^{1}}$

يمكن اعتبار أنواع التشعبات التالية أهم التشعبات في ال ${\displaystyle R^{1}}$ :

• تشعب عقدة سرج saddel node bifurcation
• تشعب حرج متعدي transcritical bifurcation
• تشعب فرشاتي pitchforck bifurcation

تشعب عقدة سرج

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu -x^{2}+...+HOT}$

حيث Hot اختصار ل Higher Order Terms و عامة يمكن قول أن النظام

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\mu )}$
حيث
${\displaystyle f(x_{0},\mu _{0})=0}$
و
${\displaystyle f_{x}|_{x_{0}}=0}$
يحتوي على تشعب عقدة سرج إذا توفرت الشروط التالية:
${\displaystyle f_{\mu }|_{x_{0}}\neq 0}$

${\displaystyle f_{xx}|\neq 0}$

تشعب حرج متعدي

يكون الشكل العام لمعادلة التشعب الحرج المتعدي كالآتي:

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu x-x^{2}+...+HOT}$

و عامة يمكن قول أن النظام

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\mu )}$
حيث
${\displaystyle f(x_{0},\mu _{0})=0}$
و
${\displaystyle f_{x}|_{x_{0}}=0}$
يحتوي على تشعب متعدي حرج إذا توفرت الشروط التالية:
${\displaystyle f_{\mu }|_{x_{0}}=0}$

${\displaystyle f_{xx}|_{x_{0}}\neq 0}$
${\displaystyle f_{x\mu }|_{x_{0}}\neq 0}$

تشعب فرشاتي

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu x-x^{3}+...+HOT}$ و عامة يمكن قول أن النظام

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\mu )}$
حيث
${\displaystyle f(x_{0},\mu _{0})=0}$
و
${\displaystyle f_{x}|_{x_{0}}=0}$
يحتوي على تشعب فرشاتي إذا توفرت الشروط التالية:
${\displaystyle f_{\mu }|_{x_{0}}=0}$

${\displaystyle f_{xx}|_{x_{0}}=0}$
${\displaystyle f_{x\mu }|_{x_{0}}\neq 0}$
${\displaystyle f_{xxx}|_{x_{0}}\neq 0}$

تشعب في ال ${\displaystyle R^{2}}$ تشعب هوبف

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

${\displaystyle {\dot {x_{1}}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\mu )}$ ${\displaystyle {\dot {x_{2}}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\mu )}$

حيث

${\displaystyle f_{1}=f_{2}=0}$

و

${\displaystyle f_{x}|_{0}={\begin{pmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{pmatrix}}}$

و إذا قمنا بحساب القيم التالية:

تشعب في ال ${\displaystyle R^{n}}$

تعتبر دراسة التشعبات في ال ${\displaystyle R^{n}}$ أصعب من الحالات المذكورة أعلاه إلا أنه إذا في بعض الحالات يمكن إرجاع نظام ما ينتمي إلى ${\displaystyle R^{n}}$ إلى نظام ينتمي إلى ال ${\displaystyle R^{1}}$ أو ال ${\displaystyle R^{2}}$ باستعمال نظرية متعدد الفروع الوسطي center manifold theory حيث يمكن اختزال النظام المعقد في نظام ذا أبعاد أصغر ومن ثم دراسة التشعب على متعدد الفروع الوسطي center manifold . أي باختصار إرجاع هذه الحالة إلى الحالات المذكورة أعلاه

مراجع

وصلات خارجية

http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/nldyn.htm

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة الفيزياء
• موسوعة علوم