اختبارات تقارب متسلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.^[1][2][3]

لتكن السلسلة ${\displaystyle S}$ المكونة من مجموع حدود المتتالية ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}\!}$

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots \!}$

نعرف ${\displaystyle S_{N}\!}$ على انها سلسلة جزئية من ${\displaystyle S\!}$، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{N}\!}$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية ${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية ${\displaystyle \{a_{n}\}\!}$ بمتتالية أخرى ${\displaystyle \{b_{n}\}\!}$ بحيث من أجل أي n،

إذا كان ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$، وكانت السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ هي سلسلة متقاربة، فان${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ متقاربة حتماً.

أما إذا كان${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ وكانت السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

${\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

• إذا كان ${\displaystyle L<1}$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
• في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$

وإذا وجد عدد${\displaystyle c>0\!}$ بحيث

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c}$ فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية ${\displaystyle k=\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\!}$

• إذا كان ${\displaystyle k<1\!}$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان ${\displaystyle k>1\!}$ فالسلسلة متباعدة.
• أما في حال ${\displaystyle k=1\!}$ فنقول أن المعيار غير دي جدوى.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة رياضيات