المقدمة
نحن نعلم أن كثيرة حدود تايلور توافق الدالة (×)f عند عدد واحد فقط , وليكن ΧΟ وبالتالي فإنها تكون مفيدة لتقريب هذه الدالة في فترة صغيرة تحتوي على ΧΟ وبناءً على ذلك فإنه عادة لا تستخدم كثيرة الحدود تايلور لكن تستخدم كثيرات حدود اخرى .
ضمان وجود كثيرة الحدود الإستكمالية
نظرية التقريب لفير ستراس لنفرض أن ƒ مغلقة ومتصلة على الفترة [a,b] لكل ε>0 ، يوجد كثيرة حدود (×)p تحقق الخاصية
[f(x) – p(x) | < ɛ , ∀ x ∈[a,b|
كثيرة حدود لاجرانج الاستكمالية
المشكلة هي في إيجاد كثيرة حدود من الدرجة الأولى تمر في النقطة ( x1 , y1 ) , (x0 , y0 ) هو نفس تقريب الدالة f لـ f(x0)= y0 و f(x1) = y1
عن طريقة أو درجة استكمال كثيرة الحدود أو نفس قيم f عند نقاط معينة من نقاط النهاية ويسمى كثيرة حدود إستكمالية .
( L0(x)=(x-x1) / ( x0-x1 وَ ( L1(x)= ( x-x0 ) / ( x1-x0
(( p(x) = L0(x) f(x) + L1(x1) f(x1) = ( ( x-x1 ) / ( x0-x1 )) f(x1) + ( ( x-x0 ) / ( x1-x0
لتعميم مفهوم الإستكمال الخطي
إذا طُلب إنشاء كثيرة حدود من الدرجة n فإني سأستخدم n+1 نقطة (x0,f(x0)) , (x1,f(x1)) , …….. , (xn ,f(xn)
نظرية ( 1 )
إذا كان لدينا n+1 من النقط (x0,y0) , (x1,y1) ,………, (xn,yn) فإنه يوجد كثيرة حدود وحيدة (Pn(x من الدرجة n على الأكثر عند ( f(Xk) =P(x لكل k=0,1,......n كثيرة الحدود تعطى :
( Pn(x) = f(x0) L0(x) + ..... + f(xn) Ln(x
ويمكن كتابتها على الشكل Pn = مجموع( f(xk) Lk(x من k=0 إلى n , لكل k=0,1,.......,n
حيث
[( Lk (x) = [ (x-x0)(x-x1) ........ (x-xk-1) (x-xk+1) ......(x-xn) ] / [ (xk-x0 )(xk-x1) ..... (xk-xk-1 )(xk-xk+1 ..... (xn-xn
مثال
أوجدي كثيرة الحدود الخطية للاجرانج الستكمالية المارة في النقطة ( 4 , 2 ) , ( 1 , 5 ) ؟! المطلوب إيجاد كثيرة حدود خطية أي تكون كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ويكون إيجادها باستخدام نقطتين وتكون على الصورة
( P1(x)=L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1 ( L0(x) = ( x-x1 ) / ( x0-x1 ) = (x-5 ) / ( 2-5 ) = ( x-5 ) / ( -3 ( L1(x) = ( x-x0 ) / ( x1-x0 ) = ( x-2 ) / ( 3
f(x0) =y0 = 4 , f(x1) = y1 = 1
بالتالي :
P1(x) = ( ( x-5 ) / -3 ) (4) + ( ( x-2 ) / 3 ) (1) = ( -3x+18 ) / 3
إذا P1 = -x+6
تقدير الخطأ في الإستكمال بكثيرات حدود لاجرانج
نظرية ( 2 )
إذا كان لدينا x0,x1,…….,xn أرقام مختلفة في الفترة [a,b] وكانت الدالة [ Cn+1 [a,b ∋ متصلة و لها مشتقات حتى الرتبة n+1 .
ولكل[ x∈[a,b يوجد عدد [ γ(x)∈[a,b يقع بين x0,x1,…….,xn
بحيث يكون
(f(x) – Pn (x) | = (( f(n+1) (γ(x))) / (n+1)! ) (x-x0) (x-x1) …. (x-xn|
حيث (Pn(x كثيرة حدود لاجرانج الإستكمالية .
المراجع
- Nomerical Analysis , 9th Edition - كتاب التحليل العددي للمؤلف عيسى عبد الله السعيد - كتاب التحليل العددي للمؤلف عادل نسيم