تجانف

مثال توضيحي لحالتي تجانف موجب وسالب

التجانف (بالإنجليزية: Skewness) أو معامل التجانف أو معامل اللاتماثل، في الإحصاء الوصفي ونظرية الاحتمالات هو مؤشر لقياس درجة واتجاه لا تماثل دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي حقيقي.^[1]

إلى جانب معامل التفرطح (Kurtosis)، يعتبر من أهم المعالم الشكلية للتوزيع الاحتمالي، والتي تمكن إلى جانب معالم النزعة المركزية والتشتت الإحصائي من فهم بنية المتغيرات والبيانات الإحصائية. ^[2][3]

إذا كان اللاتماثل مائلا جهة اليمين يكون المعامل سالبا وموجبا في حالة دالة توزيع مركزة جهة اليسار. في حالة التماثل (كما في حالة التوزيع الطبيعي، يكوم المعامل منعدما).^[2]

معامل التجانف هو كمية لابعدية.

تجانف فيشر

باعتبار متغير عشوائي حقيقي ${\displaystyle X}$ بمتوسط ${\displaystyle \mu }$ وانحراف معياري ${\displaystyle \sigma }$، معامل فيشر للتجانف للمتغير ${\displaystyle X}$ هو العزم من الرتبة الثالثة للتحويلة المعيارية ل ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \gamma _{1}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]}$ وهو يساوي : ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{\ 3/2}}}}$ مع ${\displaystyle \mu _{i}}$ العزم من الرتبة ${\displaystyle i}$ للمتغير ${\displaystyle X}$.

المقدر

في حالة التوزيع الطبيعي، مقدر التجانف، بدون انحياز، هو:

${\displaystyle G_{1}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}{\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\bar {x}}})^{3}}{({\hat {\sigma ^{2}}})^{3/2}}}}$

باعتبار ${\displaystyle {\hat {\bar {x}}}}$ و${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ المقدرين، بدون انحياز، على التوالي للقيمة المتوقعة وتباين المتغير ${\displaystyle X}$.

معاملات بيرسون

توجد قياسات أخرى للتجانف، منسوبة لكارل بيرسون، وهي أسهل حسابيا نسبيا، ولا تستعمل العزوم في صيغها.

معامل بيرسون الأول للتجانف

${\displaystyle S_{p}^{1}={\frac {{\overline {X}}-X_{m}}{\sigma }}}$ بحيث ${\displaystyle {\overline {X}}}$ هو المتوسط و${\displaystyle X_{m}}$ هو المنوال الإحصائي و${\displaystyle \sigma }$ هو الانحراف المعياري.^[4]

معامل بيرسون الثاني للتجانف

${\displaystyle S_{p}^{2}=3{\frac {{\overline {X}}-m_{X}}{\sigma }}}$ بحيث ${\displaystyle {\overline {X}}}$ هو المتوسط و${\displaystyle m_{X}}$ هو الوسيط الإحصائي و${\displaystyle \sigma }$ هو الانحراف المعياري.^[5]

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة إحصاء