توزيع بيتا

☰ جدول المحتويات

نبذة تمهيدية
الخواص
- دالة الكثافة
- دالة التوزيع
مراجع

**توزيع بيتا**
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\alpha >0$ (حقيقي) $\beta >0$ (حقيقي)
الدعم	$x\in (0;1)\!$
د۔ك۔ح۔	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
د۔ت۔ت	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
المتوسط الحسابي	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
الوسيط الحسابي	$I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )$ بلا صيغة مغلقة.
المنوال	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ إذا $\alpha >1,\beta >1$
التباين	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
التجانف	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
التفرطح	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!$
الاعتلاج	$\log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!$
د۔م۔ع	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
الدالة المميزة	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها.^[1]^[2]^[3] ودالة بيتا هي نوع من التوزيعات الاحتمالية المستمرة المعرفة على الفترة [0، 1] من قبل اثنين من المعلمات بشكل إيجابي، والرموز α و β، التي تظهر الأسس بالنسبة إلى المتغير العشوائي والتحكم في شكل التوزيع.

الخواص

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\!

={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!

={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!

حيث $\Gamma$ هي دالة غاما. فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!

مراجع

Malcolm, D. G.; Roseboom, J. H.; Clark, C. E.; Fazar, W. (September–October 1958). "Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation". Operations Research. 7 (5): 646–669. doi:10.1287/opre.7.5.646. ISSN 0030-364X.
Pearson, Karl (1916). "Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 216 (538–548): 429–457. Bibcode:1916RSPTA.216..429P. doi:10.1098/rsta.1916.0009. JSTOR 91092.
PDF - تصفح: نسخة محفوظة 10 مايو 2013 على موقع واي باك مشين.