ثماني الأوجه

في الهندسة الرياضية، المُجسَم الثُماني أو ثماني الأوجه أو ثماني السطوح (Octahedron)‏، جسم ثلاثي الأبعاد مُتعدد الأسطح له ثمانية أوجه، واثنا عشر ضلع، وستة رؤوس.^[1][2] يُسمى نظامياً عندما تكون أوجهه مثلثات متساوية ومتساوية الأضلاع. ويُعتبر كهرمين رباعي الأوجه مُزدوجين. يمثل الهيكل الهندسي التركيبي لعدد من الأجسام بالطبيعة.

منتظم ثماني الأوجه

الأبعاد

إذا كان طول ضلع ثماني الأوجه هو a، فإن نصف قطر المجال المقيد (الذي يلمس الثماني الأفقي في جميع القمم) هو:

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707\cdot a}$

ونصف قطر المجال المدرج (المماس لكل من الوجوه الثماني) هو:

${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.408\cdot a}$

في حين أن منتصف القطر الذي يمس وسط كل ضلع، هو:

${\displaystyle r_{m}={\frac {a}{2}}=0.5\cdot a}$

الإسقاطات المتعامدة

التبليط الكروي

يُمكن أن يتم تمثيل ثماني الأوجه على شكل تبليط كروي، بحيث يكون إسقاط السطح عبر إسقاط المجسم. هذا الاسقاط يُحافظ على الزوايا ولكن ليس الأطوال والمراكز. وتكون خطوط مستقيمة على المجال كأقواس دائرية على متن السطح.

المساحة والحجم

مساحة السطح A والحجم V لثماني الأوجه والضلع هو a. ويكون الحساب كالتالي:

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}}$

وبالتالي فإن حجم أربع مرات من رباعي سطوح يساوي طول الضلع، في حين يساوي مساحة السطح مرتين (لأن لدينا 8 بدلاً من 4 مثلثات).

ثماني الأوجه في العالم المادي

ثماني الأوجه في الطبيعة

• بلورات الفلوريت والألماس والشب عادةً ما تكون ثماني الأوجه.
• يتم ترتيب لوحات من سبائك كاماسيت في النيازك موازية لثماني الأوجه.
• العديد من أيونات المعادن يكون تكوينها وتنسيقها ثماني الأوجه.

ثماني الأوجه في الفن والثقافة

• لعبة ثعبان روبيك تشكل أحدها ثماني الأوجه.
• فيلم ترون (1982) أخذ أحد الشخصيات (Bit) شكل ثماني الأوجه.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة هندسة رياضية