دائرة داخلية

ليكن ABC مثلثاً، والنقطتان D و E هما المسقطان العموديان لمركز الدائرة الداخلية I على الضلعين AC و AB على التوالي.

• إن المثلث IAD قائم الزاوية في النقطة D.
• إن المثلث IAE قائم الزاوية في النقطة E.

إذن ${\displaystyle {\widehat {AEI}}=180-{\widehat {ADI}}}$ ومنه الرباعي ADIE دائري

ليكن ABC مثلث نضع D و E المسقطين العموديين لمركز الدائرة الداخلية I على الضلعين AC و AB على التوالي.

• نعلم أن المثلث IAD قائم الزاوية في النقطة D.
• ونعلم أن المثلث IAE قائم الزاوية في النقطة E.
• وأن IE و ID شعاعي الدائرة.
• وكذلك المثلثين AEI و ADI يتشاركان في الضلع AI.

.ومنه نستنتج أن:

1. الزاويتين المقابلتين للضلع AI متقايستين.
2. وأن IE=ID

وبالتالي المثلثين ADI و AEI متشابهين وبالقياس على هذين المثلثين نستنتج أن مركز الدائرة الداخلي I يقسم المثلث ABC إلى ستة مثلثات متقايسة مثنى مثنى.