فضاء طوبولوجي مزدوج

في الرياضيات يشير المصطلح فضاء طوبولوجي مزدوج إلى مجموعة يوجد بها اثنان من الطوبولوجيات، وعادة إذا كانت المجموعة هي ${\displaystyle X}$ والطوبولوجيات هي ${\displaystyle \sigma }$ و${\displaystyle \tau }$ فإننا نشير إلى الفضاء الطوبولوجي المزدوج بـ${\displaystyle (X,\sigma ,\tau )}$.

الاستمرارية المزدوجة

يُطلق على خريطة ${\displaystyle \scriptstyle f:X\to X'}$ من الفضاء الطوبولوجي المزدوج ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ بالنسبة إلى فضاء طولولوجي مزدوج آخر ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')}$ يُطلق عليها استمرارية مزدوجة إذا كانت ${\displaystyle \scriptstyle f}$ مستمرة كخريطة من ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$إلى ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{1}')}$ and as map وكخريطة من ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ إلى ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{2}')}$.

المتغيرات الطوبولوجية المزدوجة للخواص الطوبولوجية

بالتطابق مع الخصائص المعروفة جيدًا للفضاءات الطوبولوجية، هناك إصدارات لفضاءات الطوبولوجيا المزدوجة.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ هو فضاء مضغوط مزدوج إذا كان كل غطاء ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ لـ ${\displaystyle \scriptstyle X}$ بـ ${\displaystyle \scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}}$, يحتوي على غطاء فرعي محدود.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ هو هاوسدورف مزدوج إذا كان لأي نقطتين متمايزتين ${\displaystyle \scriptstyle x,y\in X}$ يوجد فك لـ ${\displaystyle \scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}}$ و ${\displaystyle \scriptstyle U_{2}\in \tau _{2}}$ إما مع ${\displaystyle \scriptstyle x\in U_{1}}$ و ${\displaystyle \scriptstyle y\in U_{2}}$ أو ${\displaystyle \scriptstyle x\in U_{2}}$ و ${\displaystyle \scriptstyle y\in U_{1}}$.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ هو البعد الصفري المزدوج إذا كان يفتح في ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ المغلقة في ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ من قاعدة لـ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$, وتفتح في ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ المغلقة في ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ من قاعدة لـ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج ${\displaystyle \scriptstyle (X,\sigma ,\tau )}$ يسمى طبيعي مزدوج إذا كان لكل ${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$-مغلق و${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$- مغلقة ومجموعات ${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$-مفتوحة و ${\displaystyle \scriptstyle G_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$ومجموعات مفتوحة مثل ${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }}$, و ${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .}$

المراجع

• Kelly, J. C. (1963). Bitopological spaces. Proc. London Math. Soc., 13(3) 71—89.

• Reilly, I. L. (1972). On bitopological separation properties. Nanta Math., (2) 14—25.

• Reilly, I. L. (1973). Zero dimensional bitopological spaces. Indag. Math., (35) 127—131.

• Salbany, S. (1974). Bitopological spaces, compactifications and completions. Department of Mathematics, University of Cape Town, Cape Town.

• Kopperman, R. (1995). Asymmetry and duality in topology. Topology Appl., 66(1) 1--39.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات