قاعدة كرامر

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر (Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات .^[1][2][3] سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م. حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

الحالة العامة

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

${\displaystyle Ax=b}$

حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو n × n وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

حيث المصفوفة ${\displaystyle A_{i}}$ حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهان

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

${\displaystyle x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1}}$

مثال

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

${\displaystyle -2x+2y-3z=2}$

${\displaystyle -x+y+3z=1}$

${\displaystyle 2x-z=-1}$

مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$

أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

${\displaystyle b={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}}}$

نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

${\displaystyle AX=b}$

حيث

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاص :

${\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}=-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&-1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+-3{\begin{vmatrix}-1&1\\2&0\end{vmatrix}}}$

إذن

${\displaystyle det(A)=18}$

من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

${\displaystyle A_{x}={\begin{bmatrix}2&2&-3\\1&1&3\\-1&0&-1\end{bmatrix}}}$

ينبغي حساب محدد ${\displaystyle A_{x}}$ كما يلي : ${\displaystyle det(A_{x})=-9}$

${\displaystyle x={\frac {\det(A_{x})}{\det(A)}}=-9/18=-1/2}$

بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسية

تطبيقات

تفسير هندسي

براهين اخرى

الحالات غير المتناسقة وغير المنتهية

مقالات ذات صلة

• مصفوفة

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر