قطع مكافيء وسطح مكافئ وسطح زائد

سطح مكافئ إهليلجي

سطح مكافئ زائدي في الرياضيات، السطح المكافئ (paraboloid) هو أحد السطوح الثنائية ثلاثية الأبعاد والذي معادلته كالتالي:

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 (للسطح المكافئ الإهليلجي)

أو

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 (للسطح المكافئ الزائدي)

هناك نوعان من الأسطح المكافئة: الإهليلجية والزائدية. الإهليلجية يكون شكلها ككوب ويمكن أن يكون لها نقطة قيم صغرى أو كبرى. أما الزائدية فيكون شكلها كشكل سرج الحصان ولها نقطة حرجة يطلق عليها مسمى النقطة السرجية، تعد الأسطح الزائدية أسطحا مسطرة. في حالة a تساوي b في المعادلة الأولى يسمى الشكل الناتج سطحا مكافئا دورانيا وهو الشكل الذي ينتج من دوران قطع مكافئ حول محوره. يستخدم الشكل لتكوين بعض المرايا أو الأطباق اللاقطة. يسمى الشكل أيضا بالسطح المكافئ الدائري.

سطح زائد ذو طية واحدة

سطح زائد ذو طيتان

السطح الزائد (Hyperboloid)‏ هو أحد السطوح الثنائية ثلاثية الأبعاد والذي معادلته كالتالي:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1 (سطح زائد ذو طية واحدة),

- {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=1 (سطح زائد ذو طيتان)

إذا وفقط إذا a ساوت b فإن الشكل يسمى سطحا زائدا دورانيا. السطح الزائد ذو الطية الواحدة هو السطح الناشئ من دوران قطع زائد حول محوره المستعرض. يعتبر السطح الزائد ذو الطية الواحدة سطحا مسطرا وإن كان سطحا زائدا دورانيا فإنه بالإمكان الحصول عليه بدوران مستقيم حول مستقيم مخالف.

سطح زائد إهليلجي ذو طية واحدة. الأسلاك هي خطوط مستقيمة. لأي نقطة على هذا السطح يمروا خطين منتميين تماما على السطح. وهذا يوضح طبيعة هذا السطح أما السطح الزائد ذو الطيتان للمحور AP فيحصل عليه عن طريق مجموعة النقاط P حيث AP-BP تكون ثابتة، AP هي المسافة بين A وP. تعد A وB بؤرتا السطح الزائد. يمكن الحصول على السطح الزائد ذي الطيتين عن طريق دوران قطع زائد حول محوره البؤري. السطوح الزائدة المنحلة تكون معادلتها على الشكل:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=0;

وفي حالة a تساوي b فإن الشكل الناتج هو مخروط، أما الحالات الأخرى فيطلق على الشكل الناتج مخروط إهليلجي.

ي الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال له الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم) هو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له). بمعلومية نقطة (البؤرة) "Focus" وخط مستقيم مقابل في المستوى (الدليل) "directrix"، يكون القطع المكافئ هو المحل الهندسيللنقاط الواقعة في هذا المستوى والتي تبعد عن البؤرة بمسافةمساوية لبعدها عن الدليل. الخط العمودي على الدليل ويمر بالبؤرة يسمى "محور التماثل"، ونقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ "vertex". رأس القطع المكافئ هي نقطة تقع عليه يحدث عندها تغير في اتجاه وأطراد الدالة (أي فترات االتزايد والتناقص) ويكون عندها ميل المماس مساويًا للصفر. قد يكون القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو مفتوحًا إلى أسفل أو إلى اليمين أو اليسار.

للقطوع المكافئة أهمية كبيرة وتطبيقات متعددة، بداية من مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية إلى تصميم الصواريخ البالستية. كما أن لها استخدامات كثيرة في الفيزياءوالهندسة ومجالات أخرى عديدة.

2 المعادلة في الإحداثيات الديكارتية 3 تعريفات هندسية أخرى 4 معادلات 4.1 إحداثيات ديكارتية 4.1.1 محور تماثل رأسي 4.1.2 محور تماثل أفقي 4.1.3 قطع مكافئ عام 4.2 الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية 5 رأس القطع المكافئ 6 اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل 7 اقرأ أيضا

تاريخ

فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو دافنشي. أقدم من عملوا على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف لدينا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطاعات المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالمكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري. أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية. قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجوعة من الرياضياتين، أمثال رينيه ديكارتومارين مارسينوجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تليسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التليسكوبات العاكسة الحديثة، وأطباق القمر الصناعي، ومستقبلات الرادار. المعادلة في الإحداثيات الديكارتية إذا ما فرضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:

x+p=\sqrt{(x-p)^2+y^2}.

بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على

y^2 = 4px\,

وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته

(y-k)^{2}=4p(x-h)\,

بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور

(x-h)^{2}=4p(y-k).\,

المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة

y=ax^2+bx+c\,

وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي. وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 \,

بحيث أن

B^{2} = 4 AC,\,

حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين. تعريفات هندسية أخرى

القطوع المكافئة هي قطوع مخروطية. القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. القطع المكافئ أيضًا يعتبر نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسيللمنحنى القلبي. للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني. معادلات إحداثيات ديكارتية محور تماثل رأسي

(x - h)^2 = 4p(y - k) \, y =\frac{(x-h)^2}{4p}+k\, y = ax^2 + bx + c \,

حيث

a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \ h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}.

الصورة البارمترية:

x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,

محور تماثل أفقي

(y - k)^2 = 4p(x - h) \, x =\frac{(y - k)^2}{4p} + h;\ \, x = ay^2 + by + c \,

حيث

a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \ h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}.

الصورة البارمترية:

x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,

قطع مكافئ عام الصورة العامة للقطع المكافئ هي

(Ax+By)^2 + Cx + Dy + E = 0 \,

هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:

Ax^2 +Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \,

وبما أنه للقطع المكافئ يكون

B^2=4AC \,.

معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة

n_1x+n_2y+c=0 \,

هي

\frac{\left|n_1x+n_2y+c\right|}{\sqrt{{n_1}^{2}+{n_2}^{2}}}=\sqrt{\left(x-u\right)^2+\left(y-v\right)^2} \,

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته

r (1 + \cos \theta) = l \,

حيث l هو نصفالوتر البؤري العموديsemilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum. الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l. رأس القطع المكافئ الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو x=-\frac{b}{2a}، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع y=ax^2+bx+c، وبوضع قيمة المشتقة dy/dx=2ax+b بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:

y=a\left (-\frac{b}{2a}\right )^2 + b \left ( -\frac{b}{2a} \right ) + c

وبالتبسيط:

=\frac{ab^2}{4a^2} -\frac{b^2}{2a} + c =\frac{b^2}{4a} -\frac{2\cdot b^2}{2\cdot 2a} + c\cdot\frac{4a}{4a} =\frac{-b^2+4ac}{4a} =-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{D}{4a}

وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي

\left (-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right )

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

منحنى مكافئي يوضح الدليل (L) والبؤرة (F)، ويتضح أن المسافة من أي نقطة Pn إلى البؤرة هي دائمًا نفس المسافة من Pn إلى أي نقطة Qn تقع على الدليل أسفلها مباشرة.

منحنى مكافئي يوضح خط اختياري (L), والبؤرة (F), ورأس القطع المكافئ (V). الخط L هو خط اختياري عمودي على محور التماثل من جهة البؤرة، ويبعد عن V أكثر مما يبعد عن F ، طول أي خط F - Pn - Qn متساو، هذا يعني أن القطع المكافئ هو قطع ناقص إحدى يؤرتيه تقع عند مالا نهاية. لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:

y = a x^2\,\!

فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f). أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q. لنتخيل معًا المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره

\| FP \| = \sqrt{ x^2 + (f - y)^2 }\,\!

(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.) طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).

\| QP \| = f + y\,\!

هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي

\| FP \| = \| QP \| \,\! \sqrt{x^2 + (f - a x^2 )^2 } = f + a x^2\,\!

بتربيع الطرفين

x^2 + (f^2 - 2 a x^2 f + a^2 x^4) = (f^2 + 2 a x^2 f + a^2 x^4)\,\!

بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين

x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f\,\! x^2 = 4 a x^2 f\,\!

بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر)

1 = 4 a f\,\! f = {1 \over 4 a }\,\!

وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼) كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية

y=ax^2+bx+c\,\!,

بؤرته تقع عند النقطة

\left (\frac{-b}{2a},\frac{-b^2}{4a}+c+\frac{1}{4a} \right)\,\!

والتي يمكن كتابتها على الصورة

\left (\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2-1}{4a} \right)\,\!

والدليل يعطى بالعلاقة

y=\frac{-b^2}{4a}+c-\frac{1}{4a}\,\!

والتي يمكن أن تكتب على الصورة

y=c-\frac{b^2+1}{4a}\,\!