مخروط

مخروط دائري قائم ومائل

في الرياضيات , المخروط هو مجسم ينتج من توصيل جميع نقاط منحنى مغلق بنقطة لا تنتمي إليه، ويسمى المنحنى الخط الدليلي والنقطة بـرأس المخروط ويسمى كل مستقيم يوصله بين الخط الدليلي والرأس بـراسم المخروط, ويعرف أيضا بأنه هو المجسم الناتج من تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعي الزاوية القائمة دورة كاملة.^[1][2][3] عندما يكون الخط الدليلي دائرة ، يسمى المخروط مخروط دائري. وعندما تكون جميع الرواسم متساوية في الطول يسمى المخروط الدائري القائم. وإذا قطعنا المخروط الدائري القائم بمستوى لا يشمل رأسه، فإن المقطع الناتج يسمى القطع المخروطي.
وارتفاع المخروط هو المستقيم العمودي من قمة رأس المخروط إلى القاعدة، ويسمى أيضا طول المخروط.
إذا قيل مخروط بلا إضافات فإنه يكون المخروط الدائري.
يقع مركز ثقل المخروط ذو الكثافة المتجانسة على المحور، عند ربع المسافة من مركز ثقل القاعدة باتجاه القمة.

قوانين متعلقة بالمخروط

هذه القوانين حول المخروط الدائري

r : نصف قطر القاعدة.

h : ارتفاع المخروط.

A : مساحة القاعدة.

P : محيط القاعدة.

V : حجم المخروط.

g : هو طول الراسم في المخروط الدائري القائم.

مساحات

مساحة السطح الجانبي للمخروط الدائري القائم = ${\displaystyle {\frac {gP}{2}}=\pi rg}$

مساحة قاعدة المخروط = ${\displaystyle \pi r^{2}\,}$

عندما يُقطع مخروط دائري قائم بمستوى يوازي القاعدة فإنه ينتج مقطع بحيث : ${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {k^{2}}{h^{2}}}}$

حيث a هو مساحة المقطع، و k هو بعد المقطع عن رأس المخروط.

الحجم

يتم إيجاد حجم المخروط الدائري القائم من خلال حساب ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع : ${\displaystyle {\frac {Ah}{3}}}$

يوضح الشكل كيفية توليد مخروط من خلال تدوير مثلث قائم الزاوية
الرسم السابق يوضح منحنى الدالة${\displaystyle d(x)={\frac {r}{h}}x}$

وقد تم اثباته باعتبار المخروط الدائري القائم مجسم دوراني ينتج عن تدوير الدالة ${\displaystyle d(x)={\frac {r}{h}}x}$

وكأي مجسم دوراني فإن :

الحجم = المساحة تحت المنحنى تربيع مضروبا في ط

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}\left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}dx}$ ايجاد المساحة عن طريق حساب التكامل

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx}$ بتوزيع القوى على الضرب ثم اخراج الأعداد الثابتة.

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}}$ حل التكامل

${\displaystyle V={\frac {\pi \times r^{2}\times h}{3}}}$ بحل التكامل ثم اختصار الارتفاع في البسط والمقام

${\displaystyle V={\frac {Ah}{3}}}$ وبما أن المساحة هي ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ وضعنا قيمتها.

وهو نفس القانون السابق.

المخروط الناقص

المخروط الناقص

إذا قطع المخروط بمستو موازي للقاعدة فإن الحيز بين المستوى والقاعدة يسمى مخروطا ناقصا ويسمى أيضا جذع المخروط.

أنواع القطوع المخروطية:
1. قطع مكافئ
2. دائرة وقطع ناقص
3. قطع زائد

القطوع المخروطية

عندما يقطع مستوى مخروط فإن ذلك يولد القطوع المخروطية وهي : القطع الزائد والقطع الناقص والقطع المكافئ.

إنظر أيضا

• قطع مخروطي
• اسطوانة
• مجسم دوراني
• دليل (directrix)

المصادر

• كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني، طبعة 1431-1432 هـ، المملكة العربية السعودية.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية