كسر مستمر

في الرياضيات، الكسر المستمر (Continued fraction)‏ هو كسر يأخذ الصيغة التالية :

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

حيث a₀ عدد صحيح والاعداد (a_i (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.^[1][2][3]

تحفيز

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

حيث a₀ عدد صحيح، وكل a_i آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a_i) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

• تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
• تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
• لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
• تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
• بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
• تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

صور الكسور المستمرة

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;}$

أو

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}.}$

أو

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+{}}{1 \over a_{3}+{}}.}$

وأحيانا

${\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .\;}$

أو

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}$

الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;}$

مثل,

${\displaystyle 2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;}$

${\displaystyle -4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;}$

الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,

${\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;}$

${\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;}$

الكسور المستمرة غير المنتهية

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}$

وبصيغة أخرى:

${\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.}$

وتكون الصيغ المتقاربة

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

بعض المبرهنات المفيدة

إذا كان a₀، a₁، a₂،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب ${\displaystyle h_{n}}$ و${\displaystyle k_{n}}$ بالمعاودة:

نظرية 1

لاي ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ موجب

${\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

نظرية 2

التقاربات [a₀; a₁, a₂,...]تعطى بالعلاقة

${\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.}$

نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو ${\displaystyle h_{n}/k_{n}}$، حينئذ

${\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,}$

نشر π في كسر مستمر

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots }$

الصورة المختصرة:

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}$

أو

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

${\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.}$

ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

${\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.}$

إذا كانت n ّعدد فردي

${\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}$

الحالة الخاصة عند n = 1:

${\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}$

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}$

حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!}$

و

${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.}$

إذا كانت (I_n(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

${\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},}$

الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...,a_i = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

• التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
• لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a₀; a₁, … a_n − 1, a_n] = [a₀; a₁, … a_{n − 1}, a_n − 1, 1]

• لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

تاريخ الكسور المستمرة

• في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
• في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن ${\displaystyle {\pi }}$ عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

مقالات ذات صلة

• شجرة ستيرن-بروكوت
• كسر مستمر معمم
• متسلسلة (رياضيات)
• جداء غير منته

مراجع

وصلات خارجية

• ما هو الكسر المستمر وما تطبيقاته - موقع إجابة.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة نظرية الأعداد