مبرهنة غرونويل

سمي مبرهنة كرونويل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضي توماس هاكن غرونويل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المبرهنة من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المبرهنة في صيغتين : تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر مبرهنة غرونويل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المبرهنة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية

لو كانت، لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، ${\displaystyle \phi (t)\geq 0}$ و${\displaystyle \psi (t)\geq 0}$ دالتين مستمرتين حيث :

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، حيث ${\displaystyle K}$ و${\displaystyle L}$ ثابتين موجبين فإن :

${\displaystyle \phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

الصيغة الاشتقاقية

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة :

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

فإن لدينا اللامساواة التالية :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}(t)\leq L\psi (t)\phi (t).}$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

${\displaystyle \phi (t)\leq \phi (t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}.}$

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي