متباينة برنولي

رسم توضيحي لمتباينة برنولي، مع الرسوم البيانية لـ ${\displaystyle y=(1+x)^{r}}$ و ${\displaystyle y=1+rx}$ معروضة باللونين الأحمر والأزرق على التوالي. هنا، ${\displaystyle r=3}$.

في التحليل الحقيقي، متراجحة برنولي المسماة هكذا نسبة إلى ياكوب بيرنولي، هي متراجحة تمكن من الاقتراب من دالة الأس ل${\displaystyle 1+x}$.^[1]

تنص المتراجحة على أن

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$

لكل عدد صحيح ${\displaystyle r\geq 0}$ و لكل عدد حقيقي ${\displaystyle x\geq -1}$.

برهان المتراجحة

ليكن ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. لنبين بالترجع على ${\displaystyle n}$ أن: ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$

الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n=0}$ لأن:

${\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x}$

تكافئ ${\displaystyle 1\geq 1}$.

نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n}$ من ${\displaystyle N}$.إذن:

${\displaystyle (1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$ (لأن ${\displaystyle (1+x)\geq 0}$)

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}\Longleftarrow }$

${\displaystyle .(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}\Longleftarrow }$

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x\Longleftarrow }$

إذن الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n+1}$، و منه النتيجة.

مراجع

• Carothers, N.L. (2000). Real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. صفحة 9.  .
• Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordercht [u.a.]: Kluwer Academic Publ. صفحة 4.  .
• Zaidman, S. (1997). Advanced calculus : an introduction to mathematical analysis. River Edge, NJ: World Scientific. صفحة 32.  .

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، Bernoulli Inequality، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format. مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2012.
• Paper “Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey“

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي