متسلسلة متناسقة (رياضيات)

في الرياضيات، المتسلسلة المتناسقة (بالإنكليزية: Harmonic series) هي المتسلسلة غير المنتهية المتباعدة التالية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {1}{n}}\;\;=\;\;1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots .\!}$

التاريخ

أثبت نيكول أورسمه في القرن الرابع عشر تباعد هذه المتسلسلة، ولكن تم تجاهل هذا الإثبات. ثم توالت الاثباتات في القرن السابع عشر بواسطة بييترو منغولي ويوهان بيرنولي وياكوب بيرنولي.

حصلت المستسلسة تاريخيا على اهتمام وشعبية في وسط المعماريين. وعلى وجه التحديد في عصر الباروك حيث استخدم المعماريون المتسلسة في نسب تقسيم الارضيات من المرتفعات وإلى إقامة علاقات توافقية بين كل من التفاصيل الداخلية والخارجية المعمارية لكل من الكنائس والقصور.

المفارقات

الابتعاد

هناك العديد من البراهين على تباعد المتسلسلة المتناسقة. فيما يلي برهانان اثنان.

طريقة المقارنة

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{5}}\,+\,{\frac {1}{6}}\,+\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{9}}\,+\,\cdots \\[12pt]>\;\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{4}}\;\;+\;\;{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{8}}\;\;+\;\;{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]=\;\;&1\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;{\frac {1}{2}}\;\;+\;\;\cdots \;\;=\;\;\infty .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}\,{\frac {1}{n}}\;\geq \;1+{\frac {k}{2}}}$

طريقة التكامل

متسلسلات ذات صلة

المتسلسلة المتناسقة المتناوبة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

تُعرف هذه المتسلسة باسم المتسلسلة المتناسقة المتناوبة. وهي متقاربة إلى اللوغارتم الطبيعي لاثنين

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$

المتسلسلة المتناسقة المعممة

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}$

المتسلسلة المتناسقة العشوائية

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

حيث s_n هن متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض موزعة بشكل منتظم. انظر إلى أندريه كولموغوروف وأعماله.

مقالات ذات صلة

• لوغارتم عقدي,

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة علوم
• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي