متفاوتة هوغنس

متفاوتة هوغنس على الدائرة المثلثية

متفاوتة هوغنس هي نتيجة رياضية تنص على أنه، في المجال ${\displaystyle \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[}$ من ${\displaystyle \mathbb {R} }$، المتفاوتة التالية محققة: ${\displaystyle \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,x\leq {\frac {2}{3}}\cdot \sin x+{\frac {1}{3}}\cdot \tan x}$.

إثبات باستخدام المشتقة

لتكن الدالة العددية الحقيقية f للمتغير الحقيقي x، والمعرفة على المجال ${\displaystyle I=\left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[}$ بما يلي: ${\displaystyle f(x)=2\times \sin {x}+\tan {x}-3x}$

f قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle I}$ و لكل x من${\displaystyle I}$ : ${\displaystyle f'(x)={\frac {2\cos ^{3}x-3\cos ^{2}x+1}{\cos ^{2}{x}}}={\frac {(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)}{\cos ^{2}{x}}}}$.

و بما أن ${\displaystyle \forall x\,\cos ^{2}x>0}$ و ${\displaystyle \forall x\,(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)\geq 0}$.

فإن، ${\displaystyle \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f'(x)\geq 0}$، و منه f تزايدية على${\displaystyle I}$، و بما أن: ${\displaystyle f(0)=0}$ فإن: ${\displaystyle \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f(x)\geq 0\Leftrightarrow \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,2\sin x+\tan x\geq 3x}$.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة رياضيات