في علم الجبر الخطي، توصف مصفوتين A و B مربعتين (أي بأبعاد n×n) بالـ تشابه في مجال K في حال وجود مصفوفة P في مجال K بحيث:
وأحد معاني تحويل التشابه هو تحويل مصفوفة A إلى مصفوفة B
الخصائص
التشابه هي علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة:
- الرتبة (rank)
- المحدد
- الأثر (trace)
- القيمة الذاتية إلا أن المتجه الذاتي يكون مختلفا.
- خصائص متعدد الحدود (characteristic polynomial)
- متعدد الحدود الأصغري (minimal polynomial)
- المقسوم عليه المبدئي.
وهناك سببين لهذا التشابه:
- المصفوفتين المتشابهتين لهما نفس التساقط الخطي (linear map) إلا أن لهما أساسيات متجهات (basis of a vector space) مختلفة.
- ان التساقط X P−1XP هي مورفيزم ذاتية من نوع الجبر الترابطي لكل مصفوفات n-في-n.
وبسبب هذه الخواص، عاذة ما تحول أي مصفوفة مربعة A إلى مصفوفة مشابهة B بسيطة مما يجعل أمرد دراستها وتحليلها أسهل.
ملاحظات
لا يعتمد تشابه المصفوفات على أساسيات المجال: فمثلا، إذا كانت L مجال يحتوي على المجال فرعي K، وA وB هما مصفوفتين في مجال K، فتكون المصفوفتين A و B متشابهتين في المجال K الا في حالة تشابههما في المجال L.
في تعريف التشابه نفسه، إذا اختيرت المصفوفة × كمصفوفة مقايضة (permutation matrix) فتكون المصفوفتين A وB مشابهة التقايض (permutation-similar) أيضا. وكذلك، إذا اختيرت المصفوفة × كمصفوفة أحادية الوحدة (unitarily matrix) فتكون المصفوفتين A وB مكافئة في أحادية الوحدة أيضا. ونظرية الطيف () فإن كل مصفوفة متعامدة (normal matrix) هي متكافئة في أحادية الوحدة مع مصفوفة قطرية (diagonal matrix).
تطبيقات
- تستعمل المصفوفات المتشابهة في علم المعلوماتية الحيوية لضبط التراصف التسلسلي.
- وفي الرياضيات التطبيقية، تستعمل المصفوفات المتشابهة لحساب دالات المصفوفات مثل أس المصفوفة وقوة المصفوفة.
مجالات أخرى
- في نظرية الزمر، تسمى التشابه الفئة الزواجية (conjugacy).
- في نظرية التصنيف، وبالنسبة لفصيلة Pn من مصفوفات n-في-n عكاسية، فإن أي تعريف لتشابه مستطيل التي حرسل مصفوفة A ذو أبعاد m-في-n إلى Pm−1APn فالفصيلة تعرف المدلل(functor) أوتومورفيزمي للتصنيف لكل المصفوفات المؤلفة من الأرقام الطبيعية ومورفيزم من n إلى m والمصفوفة m-في-n التي أسست من عمليى ضرب الصفوفات.