معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود

في الرياضيات، يمكن اعتبار متتالية متعددات حدود ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$ نوعا من معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود إذا كانت الدالة المولدة كثيرة الحدود بالشكل التالي:

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

حيث تكوين دالة التكوين أو كيرنيل ${\displaystyle K(z,w)}$ مكونه من السلسلة التالية:

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$ with ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

و

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$ and all ${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

و

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$ with ${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

وفقا للمعادلات السابقة، ليس من الصعب استنتاج ${\displaystyle p_{n}(z)}$ معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ${\displaystyle n}$.

تعتبر متعددة الحدود بواس- باك فئة عامة أكثر قليلاً من كثيرات الحدود.

حالات خاصة

• إذا كان ${\displaystyle g(w)=w}$ تصبح المعادلة هي معادلة برنكي متعددة الحدود.
• إذا كان ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ تصبح معادلة هي معادلة نيوتن متعددة الحدود.
• إذا كان ${\displaystyle g(w)=w}$ و ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ تصبح المعادلة هي معادلة أبيل متعددة الحدود.

التمثيل الصريح

يمكن تمثيل معادلة أبيل كثيرة الحدود بالمعادلة التالية:

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

حيث:

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

بما أن:

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

إذا:

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

مقالات ذات صلة

• متتالية متعددات حدود
• دالة مولدة

وصلات خارجية

• معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود.
• شرح معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود- أكاديمية خان

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة علوم
• موسوعة منطق