معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

${\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)y^{\prime }+f_{0}(x)y=G(x)\qquad }$

حيث ${\displaystyle f_{i}(x)\!}$ و ${\displaystyle {G(x)}\!}$ هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث ${\displaystyle p_{n}(x)\neq 0}$، و${\displaystyle y(x)\!}$ هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون ${\displaystyle G(x)=0\!}$ تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).^[1][2]

عندما تكون المعاملات ${\displaystyle p_{i}(x)\!}$ مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة.

مؤثر تفاضلي خطي

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: ${\displaystyle \ L={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p_{0}}$ بحيث ان:

${\displaystyle \ L[y]=({\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p_{0})y}$

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: ${\displaystyle \ L\left[y\right]=q(x)}$. المعادلة تسمى "خطية" لان المؤثر هو خطي: ${\displaystyle \ L\left[\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right]=\lambda _{1}L\left[y_{1}\right]+\lambda _{2}L\left[y_{2}\right]}$.

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه اذا كان ${\displaystyle v(x)}$ و ${\displaystyle u(x)}$ حلول للمعادلة التفاضلية المعطاه، فان ${\displaystyle v(x)+u(x)}$ هو أيضا حل، وأيضا ${\displaystyle c_{1}v(x)+c_{2}u(x)}$ أيضا حل (بحيث ان ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا اذا كان ${\displaystyle \ q(x)\equiv 0}$ المعادلة تسمى متجانسة'.

حل المعادلة التفاضلية

فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال ${\displaystyle \ y_{1},\dots ,y_{n}}$ يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : ${\displaystyle \ y=c_{1}y_{1}+\dots +c_{n}y_{n}}$. بحيث ${\displaystyle \ c_{1},\dots ,c_{n}}$ ثوابت اختيارية، "حل عام للمعادلة المتجانسة".

اذا يكفي ان نبحث عن الحلول ${\displaystyle \ y_{1},\dots ,y_{n}}$ لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة ${\displaystyle \ L\left[y\right]=q(x)}$ الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة ${\displaystyle \ L\left[y\right]=0}$. أي أن,اذا ${\displaystyle \ L\left[y_{1}\right]=L\left[y_{2}\right]=q(x)}$ اذا ينتج ${\displaystyle \ L\left[y_{1}-y_{2}\right]=L\left[y_{1}\right]-L\left[y_{2}\right]=q(x)-q(x)=0}$. ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

اذا اذا كان ${\displaystyle \ y}$ حل عام للمعادلة الغير متجانسة, و ${\displaystyle \ y_{p}}$ هو حل خاص لها, اذا ${\displaystyle \ y-y_{p}}$, مثلما اوضحنا,هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :${\displaystyle \ y=y_{p}+y_{H}}$

${\displaystyle \ y_{p}}$ حل خاص للغير متجانسة

${\displaystyle \ y_{H}}$ حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل ${\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=0}$

وتحل باستخدام الوسيط ${\displaystyle y=e^{\lambda }\!}$

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل ${\displaystyle {p_{n}\lambda ^{n}+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_{1}\lambda +p_{0}=0}}$ لها عدد n من الحلول ${\displaystyle \lambda =s_{0},s_{1},\dots ,s_{n-1}}$

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

${\displaystyle y_{i}(x)=e^{s_{i}x}}$

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل ${\displaystyle y_{H}(x)=C_{0}(x)y_{0}(x)+C_{1}(x)y_{1}+\cdots +C_{n-1}(x)y_{n-1}}$

حيث${\displaystyle C_{i}(x)\!}$ قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

${\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=q(x)\!}$

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة ${\displaystyle i}$ بالرمز ${\displaystyle D^{i}}$ أي

${\displaystyle y^{(i)}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}=D^{i}y\!}$

وتصبح المعادلة كالتالي

${\displaystyle (p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)}$

أو ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)D^{i}y=q(x)\!}$

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي