الرئيسيةعريقبحث

نظرية الفردية


نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

حيث

هو الجهد الكهربائي .

هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما و , و هو الفرق بين قيمة الحلين .

وبما أن و تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها .

وباستخدام التعريف

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

حيث

هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

و

إذا

يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

بشرط أن يكون :

  1. معرفة على كل حدود السطح، وتكون , وبالتالي تصبح .
  2. معرفة على كل حدود السطح، وتكون , وبالتالي تصبح .
  3. أن تحقق قانون جاوس

مقالات ذات صلة

موسوعات ذات صلة :