توافقات كروية

التمثيلات البصرية للأعداد الأولى القليلة للتوافقات الكروية. تمثل الأجزاء الحمراء مناطق تكون فيها الوظائف إيجابية، أما الأجزاء الخضراء فتمثل المناطق التي تكون فيها الوظائف سلبية.

في علم الرياضيات، يشير مصطلح التوافقات الكروية إلى الجزء الذي يمثل زوايا مجموعة من حلول معادلة لابلاس. إن اتوافقات الكروية للإبلاس والمتمثلة في نظام من الإحداثيات الكروية، ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ عبارة عن مجموعة من التوافقات الكروية التي تشكل نظامًا متعامدًا، تم تقديمه لأول مرة بواسطة بيير سيمون دي لابلاس عام 1782.^[1] تظهر أهمية التوافقات الكروية في الكثير من التطبيقات النظرية والعملية، بالأخص في حساب المدار الذري وتكوينات الإلكترون وتمثيل حقل الجاذبية والجيود والحقل المغناطيسي للكوكب والنجوم وخصائص خلفية الموجات شديدة القصر للكون. تلعب التوافقات الكروية دورًا هامًا في الرسومات ثلاثية الأبعاد بالكمبيوتر، ويتمثل ذلك في مجموعة واسعة من الموضوعات التي تتضمن الإضاءة غير المباشرة (الانسداد المحيطي والإضاءة الشاملة والنقل الإشعاعي سابق الحساب وما إلى ذلك) والتعرف على الأشكال ثلاثية الأبعاد.

معلومات تاريخية

تم البحث في مجال التوافقات الكروية لأول مرة فيما يتعلق بالكمون النيوتيني لقانون نيوتن للجاذبية العالمية في ثلاثة أبعاد. وفي عام 1782، حدد بيير سيمون لابلاس في كتابه Mécanique Céleste، أن الكمون النيوتيني عند النقطة x مقترنة بمجموعة من كتل النقاط m_i الموجودة عند النقطتين x_i والتي تمثلت من خلال

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$

ويعتبر كل مصطلح مذكور في التلخيص المذكور أعلاه عبارة عن الكمون نيوتيني لكتلة نقطة. ولكن قبل هذا الوقت، بحث أدريان ماري ليجيندري في توسع الكمون النيوتيني في القوى لـ r = |x| وr₁ = |x₁|. واكتشف أنه إذا كان r ≤ r₁ إذاً

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$

حيث γ هي الزاوية بين المتجهين x وx₁. أما وظائف P_i فهي متعددات المخارج لليجيندري وهي حالة خاصة من حالات التوافقات الكروية. ولاحقًا في مذكراته عام 1782، بحث لابلاس هذه المعاملات باستخدام المنسقات الكروية لتمثيل الزاوية γ بين x₁ وx. (انظر تطبيقات متعددات المخارج لليجيندري في الفيزياء للحصول على المزيد من التحليل المفصل.)

في عام 1867، قدم كل من ويليام طومسون(اللورد كيلفن) وبيتر جوثر تايت التوافقات الكروية الصلبة في بحثهم رسالة حول الفلسفة الطبيعية، كما قدموا أيضًا لأول مرة اسم "التوافقات الكروية" لهذه الوظائف. كانت التوافقات الكروية عبارة عن حلول متجانسة لمعادلة لابلاس

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$

ومن خلال فحص معادلة لابلاس في المنسقات الكروية، غطى كل من طومسون وتايت التوافقات الكروية للإبلاس. وتم توظيف مصطلح "معاملات لابلاس" بواسطة ويليام ويل لوصف نظام الحلول المحدد المقدم بجانب هذه الخطوط، بينما احتفظ الآخرون بهذا التخصيص التوافقات الكروية النطاقية التي تم تقديمها بشكل مناسب بواسطة لابلاس وليجيندري.

مقالات ذات صلة

• نظرية الفردية .

ملاحظات

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة ميكانيكا الكم
• موسوعة الفيزياء
• موسوعة تحليل رياضي