نموذج ديباي

نموذج ديباي في الفيزياء و الكيمياء و الديناميكا الحرارية(بالإنجليزية: Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي بيتر ديباي عام 1912 لحساب جزء الحرارة النوعية الناشئة عن الفوتونات للمواد الصلبة.^[1] والنموذج مبني على فكرة حساب اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها كفونونات في صندوق . هذا بعكس نموذج أينشتاين الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى. وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على درجة الحرارة عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T³ – وتسمى هذه العلاقة "بقانون T³ لديباي " Debye T³ law.

يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع نموذج أينشتاين و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

اشتقاقه

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

حيث:

${\displaystyle V}$ حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،

${\displaystyle F}$ هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة و الكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها ${\displaystyle 3N}$ لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد ${\displaystyle \nu _{m}}$ بحيث يكون عدد الحالات الكلي ${\displaystyle 3N}$:

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناء على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

${\displaystyle U=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

${\displaystyle =VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

حيث ${\displaystyle T_{D}}$ هي ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$.

${\displaystyle =9NkT(T/T_{D})^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

${\displaystyle =3NkTD_{3}(T_{D}/T)^{3}\,,}$

حيث ${\displaystyle D_{3}}$ هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T³ عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.

نتائج النموذج

درجات الحرارة

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون ${\displaystyle T\ll \Theta _{\mathrm {D} }}$

( وتسمى ${\displaystyle \Theta _{\mathrm {D} }}$ درجة ديباي )

• يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى الفونونات (الاهتزازات) بالعلاقة :

${\displaystyle C_{\mathrm {v} }={12\pi ^{4}Nk_{\mathrm {B} } \over 5}\cdot {T^{3} \over \Theta _{\mathrm {D} }^{3}},}$

حيث:

${\displaystyle \Theta _{D}={\frac {\hbar \omega _{D}}{k_{B}}}}$

درجة ديباي ، ويدخل فيها ثابتين :

ثابت بلانك المخفض ${\displaystyle \hbar }$

و ثابت بولتزمان ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$

و ${\displaystyle \omega _{D}}$ وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

وتتناسب درجة ديباي (درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية ${\displaystyle \ c_{\rm {eff}}}$ ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة:

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta _{\mathrm {D} }^{3}}}\propto {\frac {1}{c_{\rm {eff}}^{3}}}:={\frac {1}{3}}\left({\frac {2}{c_{t}^{3}}}+{\frac {1}{c_{l}^{3}}}\right).}$

• عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون ${\displaystyle T\gg \Theta _{D}}$,

تنطبق معادلة الطاقة الداخلية التالية :

${\displaystyle U=3Nk_{\mathrm {B} }T}$

بالتالي ينطبق على السعة الحرارية :

${\displaystyle C_{\mathrm {v} }=3Nk_{\mathrm {B} }\,}$

وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع قانون دولون-بتي ، وكذلك مع نموذج أينشتاين.

• في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد

${\displaystyle \omega \ll \omega _{D}}$ لتقريب ديباي الذي ينطبق على ${\displaystyle g(\omega )}$ ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات :

${\displaystyle \int _{0}^{\omega _{\rm {max}}}g(\omega )\,{\rm {d}}\omega \equiv 3N}$

مقالات ذات صلة

• قانون دولون-بتي
• نموذج أينشتاين
• الحرارة
• سعة حرارية
• سعرة
• حرارة كامنة
• قابلية انضغاط
• إنتروبي
• مبرهنة التوزع المتساوي

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء