Cas d'un ensemble de points matériels

Soient deux points matériels M₁ et M₂ de masses respectives m₁ et m₂, donc de poids respectifs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$. Si ces points sont solidaires (reliés par une barre rigide de poids négligeable), on peut les remplacer par un point matériel unique G de poids ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}={\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

Pour que le système soit équivalent d'un point de vue statique, le moment du poids résultant ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}}$ par rapport à un point quelconque A doit être égal à la somme des moments des forces ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$ par rapport à ce point :

${\displaystyle {\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }})={\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})+{\vec {\mathcal {M}}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{2})}$

soit, par définition du moment d'une force,

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$.

On se place dans un repère orthonormé ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}$, z étant l'axe vertical, et l'on note les coordonnées :

M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), G(x_G, y_G, z_G)

et les composantes :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}_{1}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{1}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p_{2}\\\end{pmatrix}},{\vec {\mathrm {P} }}{\begin{pmatrix}0\\0\\-p\\\end{pmatrix}}}$

avec

${\displaystyle p_{1}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{1}\|,p_{2}=\|{\vec {\mathrm {P} }}_{2}\|,p=p_{1}+p_{2}}$.

Le point A est quelconque, on peut donc calculer le moment par rapport à O pour simplifier :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{1}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}_{2}\wedge {\vec {\mathrm {P} }}_{2}}$

soit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{\mathrm {G} }p\\x_{\mathrm {G} }p\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-p_{1}y_{1}\\p_{1}x_{1}\\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-p_{2}y_{2}\\p_{2}x_{2}\\0\\\end{pmatrix}}}$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

On peut refaire le calcul en considérant que le poids est orienté selon l'axe x ; cela revient à tourner l'ensemble rigide {M₁, M₂} d'un quart de tour dans le plan vertical (x, z), et à considérer que le repère est lié à l'ensemble rigide {M₁, M₂}. On obtient alors une nouvelle relation similaire pour les coordonnées en z, soit finalement :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {p_{1}z_{1}+p_{2}z_{2}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le barycentre des points matériels pondérés par leur poids. On peut étendre ce résultat à un ensemble de n points M_i(x_i, y_i, z_i) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}x_{i}}{p}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}y_{i}}{p}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum p_{i}z_{i}}{p}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec p = ∑p_i. Il présente toutes les propriétés géométriques du barycentre.

Le champ de gravité étant supposé homogène, on a

p_i = m_i⋅g

p = (∑m_i)⋅g

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m}}\\&y_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}y_{i}}{m}}\\&z_{\mathrm {G} }={\frac {\sum m_{i}z_{i}}{m}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec m = ∑m_i. On retrouve bien la définition du centre de masse.

Cas d'un objet continu

Soit un objet homogène de masse volumique ρ. Considérons un volume de matière infinitésimal dV autour d'un point M ; c'est un point matériel de masse dm = ρ(M)dV et de poids dp = dm⋅g.

Le calcul est similaire au cas discret, mais la somme devient une intégrale (l'intégrale est une somme sur un ensemble continu) :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gx(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gy(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[2ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{p}}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {d} p={\dfrac {1}{p}}\int \rho (\mathrm {M} )gz(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

avec ${\displaystyle p=\int \mathrm {d} p}$. Par ailleurs, si g est uniforme :

p = mg avec la masse ${\displaystyle m=\int \rho (\mathrm {M} )\mathrm {dV} }$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{m}}\int \rho (\mathrm {M} )z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

ce qui est la définition du centre de masse.

Cas d'un objet homogène

Si la masse volumique est uniforme, alors

${\displaystyle m=\rho \int \mathrm {dV} =\rho \mathrm {V} }$

et donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&x_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int x(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&y_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int y(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\[1.5ex]&z_{\mathrm {G} }={\dfrac {1}{\mathrm {V} }}\int z(\mathrm {M} )\mathrm {dV} \\\end{matrix}}\right.}$

Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).