Grandeur physique

Le champ gravitationnel se manifeste en chaque point de l'espace par un vecteur, la force que subit une masse placée en ce point :

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {\mathcal {G}}}({\vec {r}})}$

La force étant de dimension M·L·T⁻² et la masse de dimension M, le champ gravitationnel a pour dimensions L·T⁻² et s'exprime donc en m⋅s⁻² dans le Système international d'unités (SI), c'est-à-dire comme une accélération.

Il est possible de dériver le champ gravitationnel d'un potentiel, tel que ${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}=-{\overrightarrow {\mathrm {\nabla } }}\Phi }$, qui est par définition le potentiel gravitationnel. L'opérateur nabla ayant pour dimension propre des L⁻¹, le potentiel gravitationnel a lui pour dimensions L²·T⁻² et est donc homogène au carré d'une vitesse: il s'exprime en m²⋅s⁻² en unités SI.

Il est parfois utile dans les équations aux dimensions de faire la différence entre masse grave et masse inerte. On peut noter ici que la dimension de masse que comporte la force est celle d'une masse inerte, tandis que le poids qui se manifeste dans un champ gravitationnel correspond à une masse grave ; le champ gravitationnel est donc en toute rigueur de dimension (M_i.M_g⁻¹).L·T⁻², et le potentiel gravitationnel est de dimension (M_i.M_g⁻¹).L²·T⁻²

Il convient de souligner que le potentiel gravitationnel ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})\!}$ est un intermédiaire de calcul dont dérive le champ gravitationnel. Le potentiel gravitationnel n'est défini qu'à une constante additive près, comme c'est le cas de tous les champs de gradient. Cette constante est choisie généralement de telle sorte que le potentiel soit nul à l'infini, ce qui correspond à l'idée physique que l'influence du corps est nulle à l'infini. Le choix est identique pour la définition de l'énergie potentielle de gravitation.

Cas d'un corps ponctuel

Un corps ponctuel de masse M génère le champ gravitationnel ${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}$, purement radial, et ne dépendant que de la distance r à la masse. Il est évident que ce champ dérive d'un potentiel scalaire ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}}$. Ce champ et son potentiel associé sont souvent qualifiés de newtonien. L'expression précédente du champ gravitationnel en fonction du potentiel doit être considérée comme la forme "locale" de la loi de la gravitation universelle de Newton.

L'énergie potentielle gravitationnelle et la force subie par une masse ponctuelle m en présence de ce champ de gravitation s'expriment respectivement sous la forme :

${\displaystyle E_{p}=m.\Phi ({\vec {r}})=-{\frac {G.M.m}{r}}}$,

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}({\vec {r}})=-m{\overrightarrow {\nabla }}\Phi (r)=-{\frac {G.M.m}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e}}_{r}}$.

Les expressions du champ et du potentiel gravitationnel pour un corps ponctuel présentent l'inconvénient de diverger à l'origine, ce qui est non physique. Cette difficulté, qui se retrouve également en électrostatique pour les charges ponctuelles, est due à la modélisation. La notion de corps ponctuel n'est valable qu'à des distances grandes devant les dimensions du corps considéré: aucun corps physique ne peut être considéré comme ponctuel dans le domaine microscopique. Ceci est particulièrement vrai dans l'étude du champ gravitationnel, qui n'est appréciable en pratique que pour des corps célestes comme des astéroïdes, des planètes, des étoiles... Dès lors qu'à courte distance, il est tenu compte de la forme et de la distribution des masses au sein du corps, les divergences des expressions précédentes disparaissent.

Forme intégrale des équations du champ et du potentiel gravitationnels

Dans le cas de corps non ponctuels, il est possible d'exprimer les potentiels et champ gravitationnels à partir du principe de superposition^[6]: le corps non ponctuel est divisé en « parties » considérées comme ponctuelles, qui chacune crée un potentiel gravitationnel, et donc un champ, en un point donné de l'espace, le potentiel et le champ « complets » étant égaux à la somme des potentiels et champs créés par les diverses « parties » du corps.

Topographie du champ gravitationnel de la planète Mars, obtenue par les mesures réalisées par la mission Mars Global Surveyor de la NASA. Les zones en rouge et blanc sont celle où le champ est le plus fort, celles en bleu et vert là où il est le plus faible.

Sur le plan mathématique deux approches sont adoptées :

• une description discrète: le corps de masse M est considéré comme constitué d'un grand nombre de points matériels M_i de masses m_i, repérés par les vecteurs position ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ par rapport à une origine donnée ${\displaystyle O}$ (${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\overrightarrow {OM_{i}}}}$), et tels que ${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}}$. Le potentiel et le champ totaux créés en ${\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}}$ sont alors donnés par :

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\sum _{i}-{\frac {Gm_{i}}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}\|}}}$,

${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}({\vec {r}})=\sum _{i}-{\frac {Gm_{i}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i})}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}\|^{3}}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\Phi }$.

• une description continue: le corps non ponctuel est alors assimilé à un domaine continu (V) de l'espace. Au voisinage d'un point quelconque M' repéré par ${\displaystyle {\vec {r}}'={\overrightarrow {OM}}\,'}$ il est possible de considérer un petit volume ${\displaystyle \delta V'}$ de masse ${\displaystyle \delta m'}$ pouvant être considéré comme ponctuel. En passant à la limite ${\displaystyle \delta V'\rightarrow 0}$ il devient possible de définir en tout point de (V) un champ scalaire ${\displaystyle \rho ({\vec {r}}\,')=\lim _{\delta V'\to 0}{\frac {\delta m'}{\delta V'}}}$ appelé masse volumique, la masse totale du corps étant alors donnée par ${\displaystyle \iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')\,dV'}$. Chaque élément de volume infinitésimal ${\displaystyle dV'}$ de masse ${\displaystyle dm'=\rho ({\vec {r}}\,')\,dV'}$ peut être considéré comme générant alors le potentiel "élémentaire" ${\displaystyle -{\frac {Gdm'}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}=-{\frac {G\rho ({\vec {r}}\,')dV'}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}}$. Le potentiel et le champ totaux créés en ${\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}}$ sont alors donnés par:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\iiint _{(V)}-{\frac {G\rho ({\vec {r}}\,')dV'}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}}$,

${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}({\vec {r}})=\iiint _{(V)}-{\frac {G\rho ({\vec {r}}\,')\left({\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right)\,dV'}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|^{3}}}}$.

Ces expressions sont les formes intégrales du potentiel et du champ gravitationnel. Elles permettent en théorie de calculer ces derniers pour une distribution arbitraire de masse, elles ne sont cependant guère pratiques, et il est utile de déterminer des équations locales pour le champ de gravitation.

Distinction entre champ gravitationnel et champ de pesanteur

Au voisinage de la Terre ou d'une autre planète, il est possible d'introduire la notion de champ de pesanteur (ou tout simplement pesanteur), noté ${\displaystyle {\vec {g}}}$. Ce champ ne se confond pas avec le champ gravitationnel créé par l'astre, même si celui-ci en constitue la partie prépondérante. Le poids d'un corps de masse m, considéré comme de faibles dimensions par rapport à la Terre ou l'astre considéré, est donné par la relation ${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {g}}}$. Le champ de pesanteur a les mêmes unités que le champ gravitationnel, c'est-à-dire celle d'une accélération. À la surface de la Terre, sa valeur est de l'ordre de 9,81 m s⁻².

Le champ de pesanteur est défini en fait à partir du poids, celui-ci pouvant se définir comme l'opposé de la force qui permet de maintenir en équilibre un corps de masse m dans le référentiel terrestre^[7]. Ainsi si un corps suspendu à un ressort est au repos dans le référentiel terrestre, le poids est égal à l'opposé de la tension du ressort.

La différence entre pesanteur et champ de gravitation provient du caractère non galiléen du référentiel où s'exerce le champ de gravitation : ainsi en plus de la gravitation, il faut tenir compte d'une part du caractère accéléré de celui-ci par rapport au référentiel de Kepler, considéré lui comme galiléen, et donc de la force d'inertie d'entraînement^[8]. Tout calcul fait, le champ de pesanteur en un point M au voisinage de la Terre, dont la projection sur l'axe de rotation est notée H est donné par^[9]:

${\displaystyle {\vec {g}}(M)={\vec {\mathcal {G}}}_{T}(M)+\Omega ^{2}.{\overrightarrow {HM}}+\left({\vec {\mathcal {G}}}_{a}(M)-{\vec {\mathcal {G}}}_{a}(T)\right)}$,

expression dans laquelle apparaissent trois termes:

• Le champ gravitationnel ${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}_{T}(M)}$ créé par la Terre (ou l'astre) au point M, qui représente plus de 99 % de la pesanteur.
• Un terme dit axifuge, soit ${\displaystyle \Omega ^{2}.{\overrightarrow {HM}}}$, où ${\displaystyle \Omega }$ est la fréquence angulaire de rotation de la Terre, qui correspond à l'accélération d'entrainement due à la rotation de la Terre, par rapport au référentiel géocentrique. Ce terme représente l'essentiel de la différence avec le champ gravitationnel. Cette contribution est nulle aux pôles et maximale à l'équateur, où elle atteint -0,3 %.
• Un terme différentiel, soit ${\displaystyle \left({\vec {\mathcal {G}}}_{a}(M)-{\vec {\mathcal {G}}}_{a}(T)\right)}$, où ${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}_{a}(M)}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}_{a}(T)}$ représentent les champs gravitationnels causés par les autres astres respectivement en M et au centre, noté T, de la Terre. Ce terme est dit de marée, est lié à l'accélération d'entrainement du référentiel géocentrique par rapport au référentiel de Kepler. Ce terme est souvent négligeable dans la plupart des applications, car plus de 10⁷ fois plus faible que le champ gravitationnel terrestre^[10]. Pour la Terre, seuls le Soleil et la Lune contribuent de façon appréciables à ce terme.

La direction du champ de pesanteur ${\displaystyle {\vec {g}}}$ en un point de la surface de la Terre est par définition la verticale du lieu. Du fait du terme axifuge, dépendant de la latitude du lieu, cette direction ne se confond pas exactement avec celle du centre de la Terre, même en supposant celle-ci comme une distribution parfaitement sphérique de masse. Localement, le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme. La mesure du champ de pesanteur (gravimétrie) a une importance considérable en géophysique.

Expression générale du développement multipolaire pour le potentiel gravitationnel

Dans l'expression intégrale du potentiel gravitationnel:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\iiint _{(V)}-{\frac {G\rho ({\vec {r}}\,')dV'}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}}$,

il est possible de réécrire le terme en ${\displaystyle {\frac {1}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}}$ sous la forme:

${\displaystyle {\frac {1}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}={\frac {1}{\left(r^{2}+r\,'^{2}-2{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\,'\right)^{1/2}}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\left(1+x\,'^{2}-2x\,'\cos \theta '\right)^{1/2}}}}$, où ${\displaystyle x'={\frac {r\,'}{r}}}$ et ${\displaystyle \theta '}$ est l'angle entre ${\displaystyle {\vec {r}}\,'}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}}$.

Dans le cas où le point P , où le potentiel est exprimé, est situé en dehors de la distribution, ${\displaystyle x\,'<1}$ et la racine carrée au dénominateur n'est autre que la fonction génératrice des polynômes de Legendre, par suite il vient:

${\displaystyle {\frac {1}{\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\|}}={\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{+\infty }\left({\frac {r\,'}{r}}\right)^{k}P_{k}\left(\cos \theta \,'\right)}$,

et par suite le potentiel gravitationnel ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}$ s'écrit sous la forme du développement suivant, dit multipolaire:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {-G}{r}}\left(\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{r^{k}}}\left[\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')r\,'^{k}P_{k}(\cos \theta \,')\,dV\,'\right]\right)}$,

soit encore en isolant le terme d'ordre 0 en k :

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {-GM}{r}}-G\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')r\,'^{k}P_{k}(\cos \theta \,')\,dV\,'}{r^{k+1}}}={\frac {-GM}{r}}-G\sum _{k=1}^{\infty }\phi ^{(k)}({\vec {r}})}$,

où il a été tenu compte du fait que ${\displaystyle \iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')\,dV'=M}$, masse totale de la distribution, et il a été posé:

${\displaystyle \phi ^{(k)}({\vec {r}})={\frac {\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')r\,'^{k}P_{k}(\cos \theta \,')\,dV\,'}{r^{k+1}}}}$

Le premier terme n'est autre que le potentiel créé par un corps ponctuel en l'origine, ou encore par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en celle-ci: il est appelé terme polaire. Il est important de souligner que contrairement au cas de l'électrostatique, ce terme n'est jamais nul pour une distribution de masse, aussi joue-t-il un rôle prépondérant dans tous les cas.

Par ailleurs, dans le cas où la distribution est à symétrie sphérique tous les autres termes sont nuls : en effet dans ce cas il est possible de décomposer l'intégrale dans chacun des termes en partie radiale (en r') et angulaire, et il vient compte tenu du fait que ${\displaystyle P_{0}(\cos \theta \,')=1}$:

${\displaystyle \iiint _{(V)}\rho (r\,')r\,'^{k}dV'=\int \rho '(r\,')r\,'^{k+2}\,dr\,'\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,'P_{k}(\cos \theta \,')\,d\theta \,'\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \,'}$,

or ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}(\cos \theta \,')\,d\theta \,'=-\int _{0}^{\pi }P_{0}(\cos \theta \,')P_{k}(\cos \theta \,')\,d(\cos \theta \,')=\int _{-1}^{+1}P_{0}(x')P_{k}(x')dx'}$, où il a été effectué le changement de variable ${\displaystyle x'=\cos \theta \,'}$. Du fait de la propriété d'orthogonalité des polynômes de Legendre, ${\displaystyle \int _{-1}^{+1}P_{0}(x')P_{k}(x')dx'=0}$ pour ${\displaystyle k\geq 1}$, par suite pour toute distribution à symétrie sphérique le développement se réduit au seul terme polaire.

Il en résulte que les termes suivants d'ordre ${\displaystyle {\frac {1}{r^{k+1}}}}$ en r représentent "l'écart à la sphéricité" de la distribution. Pour k=1 il s'agit du terme dipolaire, pour k=2 du terme quadrupolaire, et de façon générale le terme d'ordre k est dit 2^k-polaire.

Annulation du terme dipolaire

Contrairement à la situation rencontrée en électrostatique, le terme dipolaire peut toujours être rendu nul par un choix approprié de l'origine O. En effet compte tenu du fait que ${\displaystyle P_{1}(\cos \theta \,')=\cos \theta \,'}$, celui-ci se met sous la forme, :

${\displaystyle \phi ^{(1)}({\vec {r}})=\iiint _{(V)}{\frac {\rho ({\vec {r}}\,')r\,'\cos \theta \,'\,dV'}{r^{2}}}}$.

Comme ${\displaystyle r\,'\cos \theta \,'={\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\,'}{r}}}$ il vient:

${\displaystyle \phi ^{(1)}({\vec {r}})={\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\cdot \left(\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,'){\vec {r}}\,'\,dV'\right)}$,

or l'intégrale entre parenthèses correspond à la définition du centre de masse C de la distribution, avec:

${\displaystyle M{\overrightarrow {OC}}=\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,'){\vec {r}}\,'\,dV'}$,

il suffit par suite de choisir pour origine ce centre de masse C, pour avoir ${\displaystyle \phi ^{(1)}({\vec {r}})=0}$.

Par suite le développement multipolaire du potentiel gravitationnel avec pour origine le centre de masse de la distribution se met sous la forme: ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}}\,')={\frac {-GM}{r}}+\phi ^{(2)}({\vec {r}})+\phi ^{(3)}({\vec {r}})+...}$

Il est intéressant de souligner qu'annuler le terme dipolaire par un simple choix d'origine n'est pas possible pour une distribution de charges électriques. En effet dans ce cas ρ peut être négatif ou positif, et alors il convient de distinguer deux "centres de charge": celui pour les charges positives et celui pour les charges négatives, qui en général ne coïncident pas. Il est donc impossible de choisir en général une origine particulière annulant le terme dipolaire électrique: celui-ci possède donc une importance significative contrairement au cas du champ gravitationnel.

En revanche du fait de la neutralité électrique générale de la matière, le terme polaire s'annule fréquemment et n'a donc pas la même importance que dans le cas du champ gravitationnel.

Développement à grande distance du potentiel gravitationnel - Moment quadrupolaire

Pour la plupart des corps célestes de masse suffisante la distribution de masse est pratiquement à symétrie sphérique^[13]. Par ailleurs les différents termes 2^k-polaires décroissent rapidement avec k, et à grande distance (r ≫ r' ) il est possible de ne conserver que le premier terme non nul^[14], soit le terme quadrupolaire:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})\approx {\frac {-GM}{r}}+\phi ^{(2)}({\vec {r}})+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{r^{4}}}\right)}$.

Par suite le terme ${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})}$ représente à grande distance l'écart à la sphéricité du potentiel gravitationnel créé par la distribution. Ce terme peut s'exprimer sous une forme faisant intervenir un tenseur symétrique d'ordre deux, le moment quadrupolaire de la distribution. Compte tenu de ${\displaystyle P_{2}(\cos \theta \,')={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta \,'-1)}$ et que ${\displaystyle r\,'\cos \theta \,'={\tfrac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\,'}{r}}}$ le terme quadrupolaire peut s'écrire :

${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})={\frac {-G}{2r^{3}}}\iint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')r\,'^{2}(3\cos ^{2}\theta \,'-1)dV'={\frac {-G}{2r^{5}}}\left(\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')\left[3({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\,')^{2}-r^{2}{\vec {r}}\,'^{2}\right]dV'\right)}$

Pour faire apparaître le moment quadrupolaire il convient d'adopter la notation tensorielle pour les composantes cartésiennes ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}\,'}$ en posant ${\displaystyle {\vec {r}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}\,'=(x_{1}',x_{2}',x_{3}')}$^[15]. Par ailleurs, pour simplifier l'écriture il est possible d'utiliser la convention d'Einstein, où la sommation est sous-entendue sur les indices répétés, ainsi ${\displaystyle {\vec {r}}\,'^{2}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}'^{2}=x_{i}'x_{i}'}$. L'expression entre crochets dans l'intégrande s'écrit alors :

${\displaystyle \left[3({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\,')^{2}-r^{2}{\vec {r}}\,'^{2}\right]=3(x_{i}x_{i}')(x_{j}x_{j}')-(x_{i}x_{i})(x_{j}'x_{j}')=3T_{ij}\,'x_{i}x_{j}-\delta _{ij}T_{ij}\,'x_{i}x_{j}}$,

où ${\displaystyle T_{ij}\,'=x_{i}\,'x_{j}\,'}$ sont les composantes du produit tensoriel de ${\displaystyle {\vec {r}}\,'}$ par lui-même et ${\displaystyle \delta _{ij}}$ celles du tenseur de Kronecker défini par^[16]:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1{\text{ si }}i=j\\0{\text{ si }}i\neq j\end{cases}}}$.

Finalement, il vient:

${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})={\frac {-G{\vec {r}}\cdot \left({\bar {\bar {Q}}}{\vec {r}}\right)}{2r^{5}}}}$,

où ${\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}}$ est le tenseur symétrique d'ordre deux de composantes ${\displaystyle Q_{ij}=\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')\left(3x_{i}'x_{j}'-\delta _{ij}x_{i}'^{2}\right)\,dV'}$, appelé moment quadrupolaire de la distribution de masse^[17].

Formule de MacCullagh

La valeur du moment quadrupolaire est lié à la distribution de la matière au sein du corps: par suite il existe une relation entre ${\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}}$ et le tenseur d'inertie^[18] ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ du corps, qui traduit également la géométrie des masses au sein du corps.

Le tenseur d'inertie a pour composantes ${\displaystyle I_{ij}=\iiint _{(V)}\rho ({\vec {r}}\,')\left(\delta _{ij}x_{i}'^{2}-x_{i}'x_{j}'\right)\,dV'}$, par suite il vient en comparant les deux expressions:

${\displaystyle Q_{ij}=I_{ii}\delta _{ij}-3I_{ij}}$, ${\displaystyle I_{ii}}$ désignant la trace du tenseur d'inertie, soit la somme de ces termes diagonaux^[19],[20], soit encore sous forme intrinsèque ${\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}=\mathbf {Tr} ({\bar {\bar {I}}})-3{\bar {\bar {I}}}}$, avec ${\displaystyle \mathbf {Tr} ({\bar {\bar {I}}})}$ désignant la trace du tenseur d'inertie multiplié par la matrice unité.

Par suite le terme quadrupolaire s'écrit:

${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})={\frac {-G}{2r^{5}}}\left(r^{2}\;Tr({\bar {\bar {I}}})-3{\vec {r}}\cdot ({\bar {\bar {I}}}\,{\vec {r}}\right)}$,

or il est possible d'introduire le moment d'inertie de la distribution de masse par rapport à la direction de ${\displaystyle {\vec {r}}}$, donné par ${\displaystyle I_{r}=\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)\cdot \left[{\bar {\bar {I}}}\left({\tfrac {\vec {r}}{r}}\right)\right]}$, il vient alors la formule dite de MacCullagh^[21]:

${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})={\frac {G}{2r^{3}}}\left[3I_{r}-Tr({\bar {\bar {I}}})\right]}$

Celle-ci peut aussi s'écrire en introduisant les moments principaux d'inertie du corps, notés ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$, soient les composantes de ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ dans la base où il est diagonal (donc où le moment quadrupolaire ${\displaystyle {\bar {\bar {Q}}}}$ l'est aussi). Dans ce cas ${\displaystyle Tr({\bar {\bar {I}}})=I_{1}+I_{2}+I_{3}}$ et la formule précédente devient:

${\displaystyle \phi ^{(2)}({\vec {r}})={\frac {G}{2r^{3}}}\left[3I_{r}-(I_{1}+I_{2}+I_{3})\right]}$.

Il convient de souligner que dans le cas d'un corps pour laquelle la distribution des masses est à symétrie sphérique, tout axe passant par le centre géométrique du corps^[22] est axe principal d'inertie et tous les moments principaux d'inertie sont égaux, ce qui annule le terme entre crochets, comme cela était attendu.

Finalement, le potentiel gravitationnel à grande distance d'un corps étendu (c.-à-d. non ponctuel) de masse M s'écrit, en prenant pour origine son centre de masse:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})\approx {\frac {-GM}{r}}+{\frac {G\left[3I_{r}-(I_{1}+I_{2}+I_{3})\right]}{2r^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{r^{4}}}\right)}$