Cas d'un écran éloigné

Supposer que l'écran est éloigné des fentes revient, plus précisément, à supposer que la distance D entre l'écran et les fentes est grande devant la distance d entre les fentes (c'est-à-dire D ≫ d).

Cette approximation est utile dans le calcul de Δφ. En effet, les distances de M à S₁ et de M à S₂, notées respectivement r₁ et r₂, vérifient alors :

${\displaystyle r_{2}-r_{1}={\frac {d}{D}}\cdot x}$

où x est la distance de M au centre de l'écran.

Cette différence de trajet, souvent appelée différence de marche, correspond à un déphasage entre les deux rayons :

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {d}{D}}\cdot x}$.

On peut alors montrer que l'intensité reçue au niveau de l'écran est proportionnelle à :

${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{\lambda }}{\frac {d}{D}}\cdot x\right)}$

L'intensité est donc répartie de manière périodique : les franges sont séparées d'une distance e = D * λ / d. Cela correspond, pour une lumière visible et avec des fentes espacées d'un millimètre, à des franges séparées d'un millimètre sur un écran placé à deux mètres.

Cas d'un écran à l'infini

Relations géométriques dans le cas d'un écran à l'infini

Pour pousser l'approximation à sa limite, on peut étudier le cas où les rayons interfèrent à l'infini, c'est-à-dire lorsqu'ils sont parallèles entre eux. Dans la pratique, cela s'obtient en plaçant l'écran à plusieurs mètres des fentes, ou bien en plaçant l'écran au foyer image d'une lentille convergente.

Dans ce cas, on montre rapidement (voir la figure ci-contre) que la différence de marche entre deux rayons interférant entre eux vaut :

${\displaystyle \delta =d\cdot \sin \alpha \simeq d\cdot \alpha }$.

Le même raisonnement que dans la partie précédente donne un angle entre les franges valant λ/d.

Ces résultats aboutissent aux observations suivantes :

• plus les fentes sont éloignées l'une de l'autre, plus les franges sont rapprochées ;
• plus l'écran est éloigné, plus les franges sont espacées.

Rôle de la diffraction par chaque fente

Figure observée.

Les calculs précédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or on observe (voir figure ci-contre) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloigne du centre de l'écran. Deux phénomènes sont à l'origine de cette observation.

Premièrement, les fentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction par chacune des fentes. En effet, une lumière envoyée sur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope (on observe une tache d'Airy). Cela se traduit par le fait que la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercute sur la figure observée après les fentes de Young : l'intensité des franges décroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre. Pour en tenir compte, il faut rajouter le facteur suivant à l'intensité reçue par l'écran :

${\displaystyle \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi l}{\lambda D}}\cdot x\right)}$

où sinc est la fonction sinus cardinal et l est la largeur de chaque fente.

Simulation d'un profil d'intensité avec une longueur d'onde λ = 630 nm (rouge), une distance entre les fentes d = 0,5 µm, une distance fente-écran D = 1 m et une largeur de fente de 0,05 µm ; A = 1,26 m

Le second phénomène à prendre en compte est le fait que les ondes émises en S₁ et S₂ sont des ondes sphériques, c'est-à-dire que leur amplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent. Ainsi l'amplitude de E₁ et de E₂ ne sera pas la même au point M. Cela donne un nouveau facteur à rajouter à l'intensité :

${\displaystyle {\frac {1}{D^{2}+x^{2}}}}$

On a donc finalement

${\displaystyle I_{r}={\frac {4E_{0}^{2}}{D^{2}+x^{2}}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi l}{\lambda D}}x\right)\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi d}{\lambda D}}x\right)}$.

Représentation du phénomène par des lignes de flux d'énergie

En complément de la théorie ondulatoire de Fresnel, il est possible de représenter le phénomène d'interférences des fentes de Young par des lignes de flux d'énergie (pour une onde monochromatique dans le vide).

Simulation de 20 rayons lumineux correspondant à une onde plane monochromatique de lumière (λ= 0,5 μm) dont les positions initiales ont été tirées au hasard sur les deux fentes (d=5 μm). On retrouve évidemment les franges d'interférence.

Les lignes de flux d’énergie ont été définies depuis longtemps comme il est rappelé dans le célèbre cours de Max Born et Emil Wolf Principes of Optics ^[2]. Ces lignes de flux d'énergie sont obtenues par l'équation ${\displaystyle dr/dt=\langle S\rangle /\langle u\rangle }$ où ${\displaystyle \langle S\rangle }$ est la moyenne temporelle du vecteur de Poynting représentant le flux d'énergie et ${\displaystyle \langle u\rangle }$ la moyenne temporelle de la densité d'énergie.

Pour des ondes monochromatiques dans le vide, ces lignes de flux d'énergie sont une généralisation des rayons de l'optique géométrique. En effet, si nous diminuons la longueur d'onde de la lumière, le phénomène ondulatoire disparaît et les lignes de flux d'énergie convergent vers les rayons rectilignes de l'optique géométrique. Par analogie, on les appelle les rayons lumineux de l'optique physique^[3].

Évolution des lignes de flux d'énergie quand la longueur d'onde décroit : λ= 0,5 μm ; λ= 50 nm ; λ= 5 nm.

Destruction de la figure d'interférence. Problème de la mesure

Destruction de la figure d'interférence

Exemple de fullerène, aussi appelé « footballène »

L'interprétation quantique de l'expérience repose sur le fait qu'une particule individuelle se retrouve dans un état superposé à la suite du franchissement des fentes. On peut interpréter ce fait en disant que la particule est passée par les deux fentes en même temps. Mais que se passe-t-il si, insatisfait par cette interprétation des choses, on cherche à détecter par quelle fente la particule « est réellement passée » ?

Le résultat net de l'expérience (reproduite par Frabboni et al.^[4]) avec des électrons est qu'on détecte bien que l'électron passe soit dans la fente de droite, soit dans la fente de gauche, mais alors la figure d'interférence disparait : l'électron n'est plus dans un état superposé à cause de l'interaction avec un photon en vue d'une mesure (qu'on détecte l'électron ou non). L'interaction de l'électron avec un photon au niveau de l'une des fentes provoque un « effondrement de la fonction d'onde » et de l'état superposé. Il n'existe aucun moyen de savoir de quel côté le quantum est passé sans éliminer le phénomène d'interférence.

L'expérience de Young permet donc également de mettre en évidence le problème de la mesure quantique. Ce problème est que les lois quantiques ne prévoient pas directement cet effondrement, et qu'il n'existe donc pas de définition objective et rigoureuse de ce qu'est une « mesure » (voir traitement complet de ce problème dans les articles Chat de Schrödinger et Problème de la mesure quantique).

À l'heure actuelle, des développements sur le sujet permettent de réaliser des expériences très similaires sur des objets de plus en plus volumineux, comme les atomes, les molécules, les condensats de Bose-Einstein.

En particulier, on a observé des interférences avec des molécules de fullerène^[5]. Ces expériences démontrent que la vision purement corpusculaire de la matière n'est pas satisfaisante même avec des objets de plus en plus gros, d'où la question récurrente de la dualité onde-corpuscule en physique quantique.

Articles connexes

• Optique physique
• Interférométrie
• Mécanique quantique
• Problème de la mesure quantique
• Dualité onde-corpuscule

Liens externes

• (en) « Un résumé de l'expérience de Tonomura sur le site de Hitachi »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 29 mars 2013)
• http://physicsweb.org/articles/world/15/9/1/1
• Un site interactif reproduisant l'expérience de Young
• Une vidéo montrant et expliquant l'expérience des fentes de Young
• Simulation complète des principaux dispositifs d'interférométrie. Université Paris XI

Bibliographie

• Les clichés des franges d'électrons réalisées par Faget et Fert (il s'agit du père d'Albert Fert, prix Nobel 2007) sont reproduites dans le livre de Physique Atomique de B. Cagnac et J.C. Pebay-Peroula, publié en 1975 chez Dunod, récemment réédité.
• Claus Jönsson, Zeitschrift für Physik 161, 454-474 (1961); Claus Jönsson, 1974 Electron diffraction at multiple slits American Journal of Physics 42 4-11:
• Bernadette Schorn, « Einführung in die Quantenphysik »
• A Tonomura, J Endo, T Matsuda, T Kawasaki and H Ezawa 1989 Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern American Journal of Physics 57 117-120
• F. Frémont et al.,Interférences de type Young avec un seul électron, C.R. Académie des Sciences, 2008, Physique, 9