Lois de probabilités

Dans la conception classique des lois de probabilité, lorsqu'un événement peut se produire de deux façons différentes incompatibles l'une avec l'autre, les probabilités s'additionnent. Tel n'est pas le cas en mécanique quantique, où la probabilité d'un évènement est liée à une amplitude de probabilité susceptible d'interférer, y compris de façon destructive.

Cette propriété est illustrée par l'expérience des fentes de Young, considérée notamment par Richard Feynman comme la plus emblématique du comportement quantique de la matière. Dans son cours de mécanique quantique, Feynman consacre un long chapitre à son analyse détaillée. Cette expérience illustre aussi le concept de dualité onde-corpuscule, à la base de l'interprétation standard de la théorie.

On considère actuellement qu'aux échelles macroscopiques, l'apparente non-observation de ce comportement probabiliste s'explique par un phénomène appelé décohérence. Cependant d'autres explications existent, mais aucune ne fait l'unanimité : elles relèvent essentiellement de différences dans l'interprétation de la mécanique quantique.

Existence des quanta

La mécanique quantique tire son nom de l'existence de grandeurs ne pouvant se manifester que par multiples de quantités fixes, souvent liées à la constante, découverte par Max Planck. Ces grandeurs sont par exemple l'énergie ou le moment cinétique des particules.

L'illustration la plus manifeste et la plus riche en conséquences de ce phénomène se trouve probablement dans la structure de l'atome et plus précisément dans l'organisation des électrons autour du noyau. En effet, les électrons se répartissent en occupant les places laissées libres par les valeurs possibles des nombres quantiques liés à leur énergie et leur moment cinétique. Cette organisation permet d'expliquer le comportement chimique et spectroscopique des éléments naturels.

L'existence des quanta n'est pas une propriété fondamentale de la mécanique quantique, car elle peut être démontrée à partir d'autres considérations, notamment relatives à la règle sur l'additivité des probabilités mentionnée plus haut. Cependant, elle constitue certainement l'un des aspects les plus caractéristiques de la mécanique quantique, car c'est elle qui se manifeste le plus aisément dans les équations, et c'est historiquement par cet aspect que la mécanique quantique fut découverte.

Quelques exemples de succès

Historiquement, la théorie a d'abord permis de décrire correctement les structures électroniques des atomes et des molécules, ainsi que leurs interactions avec un champ électromagnétique. Elle explique aussi le comportement de la matière condensée, dont :

• la structure des cristaux et leurs vibrations ;
• les propriétés de conductivité électrique et de conduction thermique des métaux grâce à la théorie des bandes ;
• l'existence et les propriétés des semi-conducteurs ;
• l'effet tunnel ;
• la cryptographie et le jeu de hasard^[6]
• la supraconductivité et superfluidité.

La mécanique quantique a aussi résolu le paradoxe de Gibbs : en physique statistique classique, des particules identiques sont considérées comme discernables, et l'entropie n'est alors pas une grandeur extensive. L'accord entre la théorie et l'expérience fut rétabli en tenant compte du fait que des particules identiques sont indiscernables en mécanique quantique.

La théorie quantique des champs, généralisation relativiste de la mécanique quantique, permet quant à elle de décrire les phénomènes où le nombre total de particules n'est pas conservé : radioactivité, fission nucléaire (c'est-à-dire la désintégration du noyau atomique) et fusion nucléaire.

État quantique

En substance, un état quantique est ce qui quantifie ce que l'on peut savoir d'un système quantique. Il permet de calculer les probabilités et les valeurs moyennes mesurées des observables (position, quantité de mouvement, etc.). Les états quantiques sont décrits mathématiquement par un vecteur d'état dans un espace de Hilbert, représenté par une notation dédiée introduite par Dirac, dite notation bra-ket^[7]. Un état quantique s'écrit alors sous la forme ${\displaystyle |\psi \rangle }$. L'évolution dans le temps de ce vecteur d'état est décrite mathématiquement par la fonction d'onde ${\displaystyle \Psi (t)}$, gouvernée par l'équation de Schrödinger.

Ces deux représentations concernent les états purs, c'est-à-dire les états de systèmes quantiques simples idéalisés et isolés, où chaque composante peut être quantifiée et observée. Pour les états mixtes, représentant les états quantiques en interaction complexe avec un environnement ou un appareil de mesure, où les composantes sont trop nombreuses ou inaccessibles à l'observation, l'état quantique est plutôt représenté par une matrice densité^[8].

Dans le cas de la notation bra-ket, on exprime l'état quantique en fonction des états propres, c'est dire les états pour lesquels on est sûr que si on effectuait une mesure d'une observable, on obtiendrait à coup sûr une valeur donnée. On utilise en général pour ces états le même symbole que celui utilisé pour identifier cette valeur. Par exemple, lorsqu'on est sûr que si on effectuait cette mesure, le résultat serait une valeur ${\displaystyle \alpha }$, alors on note l'état ${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Il existe en général un certain nombre (voire une infinité) d'états propres pour une observable donnée. Par exemple, si on s'intéresse au spin d'une particule de spin 1/2, on obtient deux états propres de direction opposée : ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$ et ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$. Pour l'observable de position, on obtient une infinité d'états propres correspondant à chacune de positions possibles ${\displaystyle |x_{1}\rangle }$ ... ${\displaystyle |x_{\infty }\rangle }$.

Ces états propres sont des vecteurs orthogonaux de l'espace vectoriel de Hilbert, et en forment une base, liée à une observable donnée. Un état quantique quelconque est alors exprimé comme une combinaison linéaire de ces états propres, par exemple un état généralisé de spin 1/2 : ${\displaystyle |\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle }$, a et b étant des nombres complexes.

Deux états quantiques quelconques distincts ne sont pas forcément distinguables, car il existe une probabilité que la mesure de deux états distincts donne la même valeur mesurée. Deux états quantiques sont dits distinguables lorsqu'il existe au moins un processus de mesure dans lequel on est absolument sûr que les deux états donnent des résultats différents^[9].

Principe de superposition

Le plus important postulat de la mécanique quantique est probablement le principe de superposition^[10]. Selon ce principe, si un système physique peut se trouver dans un état ${\displaystyle |\varphi \rangle }$, et si de même il peut se trouver dans un état ${\displaystyle |\psi \rangle }$, alors il peut aussi se trouver dans un état linéairement composé :

${\displaystyle \alpha |\varphi \rangle +\beta |\psi \rangle }$

où ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux nombres complexes quelconques.

Autrement dit, l'ensemble des états possibles d'un système physique est un espace vectoriel (ou plus précisément un espace de Hilbert, comme mentionné plus haut), dont la dimension peut être quelconque.

Le point important est qu'un état superposé n'est pas un état traduisant une ignorance vis-à-vis de l'état « réel » du système, mais bien une indétermination intrinsèque au système, qui n'est ni dans l'état ${\displaystyle |\varphi \rangle }$, ni dans l'état ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Ce point souleva de nombreux questionnements dans la communauté scientifique. En particulier, le principe de superposition est à l'origine de ce qu'on appelle le problème de la mesure quantique, que Schrödinger popularisa en l'appliquant à un chat qui ne serait, selon le paradoxe de Schrödinger, ni mort, ni vivant.

Le principe de superposition fut aussi analysé et critiqué par Einstein qui, avec Boris Podolsky et Nathan Rosen, imagina une expérience, dite expérience EPR, afin de le mettre en défaut. Une expérience comparable fut menée à la fin du XX^e siècle par Alain Aspect, qui confirma le principe de superposition.

Règle de Born

La règle de Born, du nom du physicien Max Born, est une interprétation probabiliste des coefficients linéaires du principe de superposition. Elle est d'ailleurs souvent appelée interprétation probabiliste^{[note 3]}.

Cette règle peut être illustrée en considérant par exemple le chat de Schrödinger, évoqué plus haut, et dont l'état quantique peut être écrit ainsi :

${\displaystyle |\phi \rangle =\alpha |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }$

Une expérience qui chercherait à déterminer si ce chat est mort ou vif ne donnerait aucun résultat avec certitude (dans le cas contraire le chat serait soit dans l'état ${\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }$, soit dans l'état ${\displaystyle |\mathrm {vivant} \rangle }$). De façon simplifiée, il peut être dit que la règle de Born quantifie cette incertitude en stipulant que la probabilité de trouver le chat mort est égale au carré du module de ${\displaystyle \alpha }$, divisé par la somme des carrés des modules de ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$.

Plus généralement, pour un système dont le vecteur d'état est une combinaison linéaire d'états distinguables ${\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}$, la probabilité pour que le résultat de la mesure définissant la distinguabilité soit le même que si le système avait été dans l'état ${\displaystyle |i\rangle }$ est :

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}={\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}$,

où les ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sont les coefficients linéaires du vecteur d'état^{[note 4]}.

Pour simplifier les calculs, les vecteurs d'états sont en général normalisés afin que le dénominateur soit égal à un. Cela n'affecte en rien les calculs de probabilités. En pratique, la règle de Born s'écrit donc le plus souvent :

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}=|\alpha _{i}|^{2}}$,

ou encore :

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\propto |\alpha _{i}|^{2}}$, où le coefficient de proportionnalité est sous-tendu par la relation de normalisation : ${\displaystyle \sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}=1}$,

La règle de Born est l'un des postulats de la mécanique quantique les plus difficiles à appréhender. Il fait aussi l'objet de controverses, ne serait-ce que parce que son statut axiomatique est mis en doute par au moins deux interprétations : l'interprétation des mondes multiples et l'interprétation transactionnelle. Selon ces deux interprétations, la règle de Born peut être déduite à partir de considérations mathématiques et physiques plus profondes^[11].

Grandeur observable

Lorsqu'à la suite d'une expérience, on est sûr d'obtenir toujours le même résultat de mesure ${\displaystyle \alpha }$, on dit que le système physique considéré est dans l'état ${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Ceci ne signifie pas pour autant qu'on connait avec certitude le résultat d'une mesure effectuée avec un dispositif expérimental différent. En d'autres termes, la connaissance même totale de l'état d'un système ne garantit pas la connaissance parfaite de résultats de toute expérience faite sur lui.

Ainsi par exemple, si on mesure la position d'une particule dans l'état ${\displaystyle |{\vec {r}}\rangle }$, on est sûr qu'on obtiendra ${\displaystyle {\vec {r}}}$, mais par contre il n'est a priori pas possible de savoir avec certitude ce que donnera le résultat de mesure d'impulsion, car sinon la particule serait aussi dans l'état ${\displaystyle |{\vec {p}}\rangle }$, ce qui n'est pas le cas général et constitue donc une hypothèse ad hoc.

Plus généralement, si pour un certain processus de mesure A on note ${\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}$ tous les états de résultat de mesure parfaitement déterminés, alors en vertu du principe de superposition, toutes les combinaisons linéaires possibles sont aussi des états possibles pour certains systèmes :

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}\phi _{i}|\alpha _{i}\rangle }$

Parmi ces combinaisons linéaires, certaines peuvent très bien être des états de mesure parfaitement déterminée pour un autre processus de mesure B. La question est donc de savoir quel peut être le résultat de mesure de A pour ces états « propres » à B.

L'interprétation probabiliste des coefficients linéaires suggère alors que le résultat de mesure, s'il n'est pas déterministe, sera tout de même statistiquement égal à l'espérance mathématique :

${\displaystyle \alpha =\sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}\,\alpha _{i}=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}\alpha _{i}}$

Cette expression est une forme sesquilinéaire des coefficients ${\displaystyle \phi _{i}}$. Dans le sous-espace vectoriel généré par les ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$, on peut donc écrire cette expression en utilisant un produit scalaire dans lequel la base ${\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}$ est orthonormée. C'est le choix de ce produit scalaire qui donne un sens à la notation bra-ket : les vecteurs bra, notés « vers la gauche », sont alors les éléments de l'espace dual de l'espace des états ket. On a alors la relation :

${\displaystyle \langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

où ${\displaystyle \delta _{ij}}$ est le symbole de Kronecker.

L'expression de l'espérance mathématique peut alors s'écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\sum _{i}\phi _{i}^{*}\phi _{i}\alpha _{i}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\delta _{ij}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \alpha _{i}|\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi |\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\langle \phi |\sum _{j}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \end{aligned}}}$

Le terme ${\displaystyle \alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle }$ suggère l'introduction de l'opérateur linéaire dont les vecteurs propres sont les ${\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}$ et dont les valeurs propres associées sont les ${\displaystyle \alpha _{i}}$, valeurs possibles des résultats de mesure. Cet opérateur ${\displaystyle {\hat {A}}}$ est ce qu'on appelle l'observable associé au processus de mesure A. Ce n'est rien d'autre qu'un outil mathématique qui permet le calcul de l'espérance mathématique du résultat de mesure^[12], espérance qui s'écrit alors :

${\displaystyle \alpha =\langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle }$

L'intérêt d'une telle expression est qu'elle ne dépend plus explicitement de la base ${\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}$. On gagne ainsi en abstraction et on simplifie les calculs par une approche synthétique de la mécanique quantique, en opposition à l'approche dite analytique^{[note 5]}.

À partir de considérations algébriques élémentaires, il est facile de se convaincre que l'observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ est un opérateur auto-adjoint qui peut s'écrire en fonction de ses vecteurs propres et valeurs propres ainsi :

${\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i}\alpha _{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|}$

Lorsqu'on dispose de suffisamment d'observables pour décrire tout résultat de mesure, on dit qu'on dispose d'un ensemble complet d'observables qui commutent, et c'est dans l'espace hermitien généré par les vecteurs propres de ces observables que l'on travaille.

Opérateurs unitaires

Par construction, le produit scalaire dans l'espace ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ des états permet de calculer les probabilités de résultats de mesure. Il est alors facile de comprendre que les opérateurs linéaires qui conservent ce produit scalaire jouent un rôle très important en mécanique quantique. En algèbre linéaire, ces opérateurs qui conservent le produit scalaire sont appelés opérateurs unitaires. Ils ont comme propriété essentielle d'être l'inverse de leur adjoint :

${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}={\hat {I}}}$

Commutateur

Intuitivement, le commutateur de deux observables détermine s'il est possible de mesurer simultanément leur valeur^[13].

Le commutateur intervient dans l'expression des inégalités de Heisenberg et du théorème d'Ehrenfest.

Étant donnés deux opérateurs ${\displaystyle {\hat {A}}}$ et ${\displaystyle {\hat {B}}}$, non nécessairement observables, on définit leur commutateur ainsi :

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Le commutateur est analogue au crochet de Poisson de la mécanique classique.

Fonction d'onde

En pratique, l'état ${\displaystyle |\phi \rangle }$ est le plus souvent écrit dans une base ${\displaystyle (|{\vec {r}}\rangle )_{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}}$ d'états de position spatiale parfaitement déterminée :

${\displaystyle |\phi \rangle =\int _{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}\phi ({\vec {r}},t)|{\vec {r}}\rangle \mathrm {d} V}$

Ici l'intégration joue le rôle de la sommation utilisée plus haut notamment dans l'énoncé du principe de superposition, la différence étant qu'il s'agit d'une somme continue, c'est-à-dire de la somme d'une infinité de termes infiniment petits.

La fonction ${\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)}$ est appelée « fonction d'onde » et c'est sur elle que se font l'essentiel des calculs obtenus à partir de l'équation de Schrödinger.

L'écriture de l'équation de Schrödinger non plus en fonction de ${\displaystyle |\phi \rangle }$ mais de la fonction d'onde se fait en remplaçant chaque terme de l'hamiltonien par les expressions correspondantes dépendant de la fonction d'onde. Par exemple, l'impulsion ${\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle }$ s'écrit comme vu plus haut ${\displaystyle {d \over dx}{\hat {T}}(x)|\phi \rangle }$ où T(x) est l'opérateur unitaire de translation de longueur x dans l'espace, c'est-à-dire tel que :

${\displaystyle {\hat {T(x)}}|x'\rangle =|x'-x\rangle }$.

Dès lors, il vient :

${\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle ={d \over dx}{\hat {T}}(x)\int \phi (x')|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x'){\hat {T}}(x)|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x')|x'-x\rangle dx'}$

Par un changement de variable sous l'intégrale, et en se rappelant que l'équation est écrite au voisinage de x = 0, il découle^{[note 7]} :

${\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle =\int {\partial \phi \over \partial x}(x)|x\rangle dx}$

Autrement dit, l'opérateur d'impulsion agit sur le vecteur d'état en donnant un vecteur dont les coordonnées dans la représentation spatiale sont les dérivées de la fonction d'onde (à un facteur ${\displaystyle i\hbar }$ près ignoré ici). Ceci permet d'effectuer tous les calculs uniquement sur la fonction d'onde et ainsi de se ramener à la résolution d'une équation aux dérivées partielles, c'est-à-dire à l'équation de Schrödinger sous une forme plus proche de sa forme historique :

${\displaystyle i\hbar {\partial \phi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \phi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\phi (t,{\vec {r}})}$

Matrice densité

La règle de Born implique que le résultat d'une expérience peut être indéterminé même lorsque l'état du système est parfaitement déterminé. Cette indétermination est intrinsèque au système, et ce en un sens qui n'a pas d'équivalent classique. Cependant, une ignorance concernant l'état exact du système peut aussi justifier une description probabiliste au sens classique du terme, c'est-à-dire avec l'acceptation usuelle des lois de probabilités.

Ainsi, dans une base orthonormale d'états ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$, même si l'état exact est inconnu, il est tout de même possible de lui attribuer une distribution de probabilités ${\displaystyle (p_{i})}$, où ${\displaystyle p_{i}}$ est la probabilité pour le système d'être dans l'état quantique ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$. La question est alors de savoir comment rendre compte de ce type de probabilité dans les calculs.

L'étude du système se réduit à celle de la mesure des observables disponibles, qui elle-même se réduit à la mesure de leur valeur moyenne qui s'écrit, pour une observable ${\displaystyle A}$ et si le système est dans l'état ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ :

${\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }$

Comme le système est dans un état inconnu, mais avec la distribution de probabilité ${\displaystyle (p_{i})}$, l'espérance mathématique devient :

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }$

Cette expression est en quelque sorte une double espérance mathématique, prenant en compte à la fois les probabilités quantiques et classiques. Les termes ${\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }$ sont en effet des espérances mathématiques, pour des distributions de probabilité associées au principe de superposition et à la règle de Born. L'expression ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}}$ est quant à elle une espérance mathématique associée à une distribution de probabilité traduisant une ignorance vis-à-vis de l'état réel du système, c'est-à-dire une distribution de probabilité classique.

L'espérance mathématique peut alors s'écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle \\&=\sum _{ij}p_{i}\langle \phi _{j}|A|\phi _{i}\rangle \delta _{ij}\\&=\sum _{ij}\langle \phi _{j}|Ap_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\left(\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\right)|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\rho |\phi _{j}\rangle \\&=\mathrm {Tr} (A\rho )\end{aligned}}}$

L'expression ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ est ce qu'on appelle la matrice densité associée à la distribution de probabilités ${\displaystyle p_{i}}$ dans la base ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$. ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ est la trace.

La matrice densité n'est, à l'instar des observables, qu'un outil mathématique qui permet le calcul des espérances mathématiques des résultats de mesure, mais contrairement aux observables, la matrice densité incorpore la prise en compte d'une possible ignorance de l'état exact du système.

Fermions et bosons

Les lasers fonctionnent grâce à la propension qu'ont les bosons à occuper le même état quantique.

Les principes fondamentaux énoncés plus haut suffisent déjà à expliquer l'une des propriétés les plus importantes de la matière : la distinction entre bosons et fermions.

En effet, cette distinction découle essentiellement du caractère vectoriel de l'espace des états et de son interprétation probabiliste. Si on considère un système physique (ou plus simplement une particule) et que l'on note ${\displaystyle \phi }$ son état, alors un système physique constitué de deux de ces particules s'écrira ${\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle }$ en utilisant le produit tensoriel des deux vecteurs.

La question qui se pose alors est celle de savoir comment se comporte le système si, par la pensée, on intervertit les rôles joués par les deux particules. Autrement dit, on s'interroge sur la relation entre ${\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }$ et ${\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle }$. Ces deux systèmes étant parfaitement analogues, lorsque les particules sont considérées indiscernables, elles doivent se comporter de la même façon. Leur répartition de probabilité est donc la même et elles sont donc reliées par un scalaire ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle =\alpha |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }$

Or, si on intervertit à nouveau les particules, on doit nécessairement réobtenir le système initial, de telle sorte que :

${\displaystyle \alpha ^{2}=1}$

Même parmi les nombres complexes, il n'existe que deux racines carrées de l'unité : 1 et -1. Cela implique qu'il ne peut exister que deux types bien distincts de particules, celles pour lesquelles ${\displaystyle \alpha =1}$, les bosons, et celles pour lesquelles ${\displaystyle \alpha =-1}$, les fermions (ces noms font référence aux physiciens qui ont découvert les statistiques associées : Satyendranath Bose et Enrico Fermi).

De cela il découle directement le principe d'exclusion de Pauli, auquel seuls les fermions obéissent. Considérons par exemple un fermion et imaginons deux particules de cette espèce dans exactement le même état ${\displaystyle \phi }$.

On a : ${\displaystyle |\phi \phi \rangle =|\phi _{2}\phi _{1}\rangle =-|\phi _{1}\phi _{2}\rangle =-|\phi \phi \rangle }$ et donc : ${\displaystyle |\phi \phi \rangle =0}$

Autrement dit la probabilité pour que deux fermions soient dans le même état est toujours nulle. Une telle propriété est d'une importance considérable dans la nature. On lui doit par exemple en grande partie l'impénétrabilité des corps (en).

À l'inverse, les bosons ont tendance à se regrouper les uns avec les autres, car leurs amplitudes de probabilités interfèrent constructivement quand ils sont dans le même état. Ceci est la cause de nombreux phénomènes, comme l'émission stimulée, à la base du fonctionnement des lasers.

Des considérations comparables aux calculs effectués plus haut permettent de comprendre qu'un nombre pair de fermions se comportent comme des bosons. Ceci est la cause de phénomènes comme la supraconductivité, où les électrons forment des paires de Cooper. C'est aussi ce qui explique les différences de comportement entre les différents isotopes de l'hélium : dans un atome d'hélium 4 (⁴He), chaque particule est présente en double (deux électrons, deux protons et deux neutrons, formant des paires de Cooper), ce qui fait de cet atome un boson. Ce qui n'est pas le cas dans l'atome d'hélium 3 (³He), qui n'a qu'un neutron, ce qui fait de cet atome un fermion ; qui peut s'associer à un autre atome d'hélium 3 pour former un boson d'une paire de Cooper.

Le caractère bosonique ou fermionique des particules est lié à leur spin, par ce qu'on appelle le théorème spin-statistique.

Oscillateur harmonique

Parmi les systèmes que l'on peut résoudre analytiquement en mécanique quantique, l'un d'entre eux a une importance particulière tant sur le plan historique que théorique. Il s'agit de l'oscillateur harmonique.

En mécanique classique, l'oscillateur harmonique est un système de grande importance car il constitue une bonne approximation de n'importe quel système stable autour d'une position d'équilibre. Dans un système d'unités adéquat, l'équation énergétique s'écrit :

${\displaystyle {\frac {{\hat {P}}^{2}}{2}}+{\frac {{\hat {X}}^{2}}{2}}=E}$

Où ${\displaystyle {\hat {P}}}$ et ${\displaystyle {\hat {X}}}$ sont respectivement l'impulsion et la position du mobile.

En mécanique quantique, l'équation est formellement la même, mais les grandeurs impliquées sont de nature différente. Au lieu d'être des scalaires réels dépendant du temps, l'impulsion et la position sont des opérateurs linéaires sur l'espace vectoriel des états. Ces grandeurs peuvent être manipulées de manière algébrique comme avec des scalaires normaux, à ceci près qu'il s'agit d'une algèbre non commutative. Il faut donc prêter attention aux commutateurs entre les opérateurs concernés. En l'occurrence, le commutateur entre ${\displaystyle {\hat {P}}}$ et ${\displaystyle {\hat {X}}}$ est :

${\displaystyle \left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]=i}$

La résolution du système passe alors par une factorisation inspirée de l'identité remarquable ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$. En se rappelant que ${\displaystyle i^{2}=-1}$, on introduit donc deux opérateurs (à un facteur de normalisation ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$ près) :

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {P}}+i{\hat {X}}\qquad {\hat {A}}^{\dagger }={\hat {P}}-i{\hat {X}}}$

Pour des raisons qui apparaissent en cours de calcul (cf article détaillé), ces opérateurs sont appelés opérateurs respectivement de création et d'annihilation de quanta, ou encore opérateurs d'échelle. Ensuite, un raisonnement par récurrence permet de montrer le caractère quantifié des niveaux d'énergie possible, et de calculer leurs valeurs. Ces quanta sont l'analogue mécanique des photons, et à ce titre ils sont parfois appelés phonons.

Cette introduction d'opérateurs de création et d'annihilation est une technique assez emblématique de la physique quantique. On la retrouve par exemple dans la théorie du moment cinétique quantique ou en théorie quantique des champs.

Effet tunnel

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à l'énergie minimale requise pour franchir cette barrière. C'est un effet purement quantique, qui ne peut pas s'expliquer par la mécanique classique. Pour une telle particule, la fonction d'onde, dont le carré du module représente la densité de probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut traverser cette barrière. Cette probabilité dépend des états accessibles de part et d'autre de la barrière ainsi que de l'extension spatiale de la barrière.

Spin de l'électron

Historiquement, le spin de l'électron est d'abord un phénomène expérimental observé notamment lors de l'expérience de Stern et Gerlach. En substance, il apparaît comme une sorte de très faible moment magnétique n'admettant que deux valeurs possibles, qui sont opposées et qui ne varient pas continûment selon l'axe de mesure. Il s'agit donc d'une grandeur qui ne respecte pas, du moins en apparence, les lois spatiales de la trigonométrie, tout en étant directionnelle. Ces observations assez curieuses n'ont pu être expliquées que par la mécanique quantique.

Le spin de l'électron est donc une grandeur a priori directionnelle qui ne peut prendre que deux valeurs de magnitude égale et de sens opposé. Les états quantiques correspondants sont alors en général notés ${\displaystyle |+\rangle }$ et ${\displaystyle |-\rangle }$^{[note 8]}. Ces états dépendent d'un axe d'observation particulier, traditionnellement placé verticalement, c'est-à-dire selon l'axe ${\displaystyle (O,z)}$.

Avec un choix d'unités adéquat, cela signifie que pour un électron dans l'état ${\displaystyle |+\rangle }$, la mesure du moment magnétique de spin selon ${\displaystyle (O,z)}$ donnera à coup sûr +1 comme résultat de mesure. De la même façon un électron dans l'état ${\displaystyle |-\rangle }$ donnera nécessairement -1 comme résultat de mesure selon ce même axe.

Dès lors, ${\displaystyle |+\rangle }$ et ${\displaystyle |-\rangle }$ forment la base d'un espace vectoriel de dimension deux, et l'observable associée à la mesure du spin selon l'axe ${\displaystyle (O,z)}$ s'écrit alors, en représentation matricielle :

${\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

(l'indice 3 est ici choisit car l'axe ${\displaystyle (O,z)}$ est traditionnellement le troisième axe du trièdre spatial)

Par application du principe de superposition, toute superposition linéaire de ${\displaystyle |+\rangle }$ et ${\displaystyle |-\rangle }$ est aussi un état possible pour l'électron. Parmi ces combinaisons linéaires, il en est qui sont les vecteurs propres de deux matrices ${\displaystyle \sigma _{1}}$ et ${\displaystyle \sigma _{2}}$ :

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,} \quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}}$, ${\displaystyle \sigma _{2}}$ et ${\displaystyle \sigma _{3}}$ forment avec la matrice unité ce qu'on appelle les matrices de Pauli.

La considération d'un vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$ et de l'observable : ${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}}$ permet alors de faire apparaître la valeur moyenne suivante de ${\displaystyle \sigma }$ pour l'état ${\displaystyle |+\rangle }$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle +|\sigma |+\rangle &=\langle +|\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=\langle +|\sigma _{1}n_{1}|+\rangle +\langle +|\sigma _{2}n_{2}|+\rangle +\langle +|\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=0+0+n_{3}\\&=\cos(\theta )\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle éloignant ${\displaystyle {\vec {n}}}$ de l'axe ${\displaystyle (O,z)}$.

Autrement dit, dès lors que ${\displaystyle \sigma _{1}}$ et ${\displaystyle \sigma _{2}}$ sont associés aux observables liées à la mesure du spin selon les axes ${\displaystyle (O,x)}$ et ${\displaystyle (O,y)}$, alors les règles de trigonométries apparaissent, mais avec une signification probabiliste. C'est là un résultat typique de la mécanique quantique.

Le spin de l'électron joue un rôle très important en mécanique quantique, d'une part parce que c'est un phénomène qui n'a pas d'équivalent classique, et d'autre part parce que c'est l'un des systèmes quantiques les plus simples dans la mesure où il n'a que deux états (ou plus précisément, que son espace vectoriel est de dimension deux^{[note 9]}). À ce titre il est souvent utilisé comme modèle d'étude pour des systèmes plus complexes, même lorsque le phénomène physique sous-jacent est complètement différent. L'exemple emblématique est le modèle d'Ising.

Atome d'hydrogène

Inégalité position-impulsion

Considérons par exemple la position ${\displaystyle x\,}$ et l'impulsion ${\displaystyle p_{x}\,}$ d'une particule. En utilisant les règles de la quantification canonique, il est facile de vérifier que les opérateurs de position et d'impulsion satisfont :

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }$

La relation d'incertitude est définie à partir des écarts quadratiques moyens de grandeurs conjuguées. Dans le cas de la position ${\displaystyle x\,}$ et de l'impulsion ${\displaystyle p_{x}\,}$ d'une particule, elle s'écrit par exemple :

${\displaystyle {\Delta }x\,\cdot \,{\Delta }p_{x}\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}$

Plus l'état possède une distribution resserrée sur la position, plus sa distribution sur les valeurs de l'impulsion qui lui est associée est large. Cette propriété rappelle le cas des ondes, via un résultat de la transformée de Fourier, et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair que ceci mène à une remise en cause de la notion classique de trajectoire comme chemin continu différentiable^{[note 10]}.

Inégalité temps-énergie

Il existe également une relation d'incertitude portant sur l'énergie d'une particule et la variable temps. Ainsi, la durée ${\displaystyle \Delta t\,}$ nécessaire à la détection d'une particule d'énergie ${\displaystyle E\,}$ à ${\displaystyle \Delta E\,}$ près^{[note 11]} vérifie la relation :

${\displaystyle {\Delta }E\,\cdot \,{\Delta }t\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}$

Cependant, la dérivation de cette inégalité énergie-temps est assez différente de celle des inégalités position-impulsion^[16],[17].

En effet, si le hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en mécanique hamiltonienne, indiquant que temps et énergie sont conjuguées^{[note 12]}, il n'existe pas d'opérateur temps en mécanique quantique (« théorème » de Pauli), c'est-à-dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur ${\displaystyle {\hat {T}}\,}$ qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$ :

${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}\right]\ =\ i\hbar \ {\hat {1}}}$

ceci pour une raison très fondamentale : la mécanique quantique a en effet été inventée pour que chaque système physique stable possède un « état fondamental d'énergie minimum ». L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des « translations en énergie ». Ceci entraîne alors que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un « spectre continu », en contradiction avec le fait que l'énergie de tout système physique stable se doit d'être bornée inférieurement^[18].

Chat de Schrödinger

Ce paradoxe (1935) met en évidence les problèmes d'interprétation du postulat de réduction du paquet d'onde.

Paradoxe EPR et expérience d'Alain Aspect

Ce paradoxe (1935) met en évidence la non-localité de la physique quantique, impliquée par les états intriqués.

Expérience de Marlan Scully

Cette expérience peut être interprétée comme une démonstration que les résultats d'une expérience enregistrée à un instant T dépendent objectivement d'une action effectuée à un temps ultérieur T+t. Selon cette interprétation, la non-localité des états intriqués ne serait pas seulement spatiale, mais également temporelle.

Toutefois, la causalité n'est pas strictement violée car il n'est pas possible — pour des raisons fondamentales — de mettre en évidence, avant l'instant T+t, que l'état enregistré à l'instant T dépend d'un évènement ultérieur. Ce phénomène ne peut donc donner aucune information sur l'avenir.

Contrafactualité

Selon la mécanique quantique, des évènements qui « auraient pu se produire, mais qui ne se sont pas produits » influent sur les résultats de l'expérience.

Notes

Références

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes

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• Réflexions à propos de la théorie des quanta (Simone Weil) (ca)
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