Mise en évidence

En représentation position et pour une particule sans spin, le vecteur d'état ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ peut alors être décomposé sur la base des ${\displaystyle \left\{|\mathbf {r} \rangle \right\}}$, ce qui donne:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle |\mathbf {r} \rangle \,d^{3}\mathbf {r} }$,

et ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi \rangle }$ correspond alors par définition à la fonction d'onde en représentation position du système. Celle-ci joue alors le même rôle que les coefficients ${\displaystyle c_{n}(t)}$ introduits lors de la décomposition du vecteur d'état sur une base discrète des états propres d'une observable quelconque ${\displaystyle {\hat {A}}}$. Or dans ce dernier cas ${\displaystyle \left|c_{n}(t)\right|^{2}}$ correspond à la probabilité que la mesure de l'observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ donne pour résultat la valeur propre ${\displaystyle a_{n}}$. De la même façon ${\displaystyle \left|\Psi (\mathbf {r} ,t)\right|^{2}=\left|\langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \right|^{2}}$ représentera la densité de probabilité que la mesure à l'instant t de la position donne pour résultat ${\displaystyle \mathbf {r} }$^{[N 8]}, à condition que le vecteur d'état soit normé à l'unité.

En effet puisque dans ce cas ${\displaystyle \langle \Psi |\Psi \rangle =1}$, il vient en introduisant la relation de fermeture ${\displaystyle \int |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\,d^{3}\mathbf {r} ={\hat {1}}}$ sur les états propres ${\displaystyle \left\{|\mathbf {r} \rangle \right\}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\langle \Psi |\int \left(|\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\,d^{3}\mathbf {r} \right)|\Psi \rangle \\&=\int \langle \Psi |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,d^{3}\mathbf {r} =\int \Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \\&=\int \left|\langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \right|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} \end{aligned}}}$,

soit finalement ${\displaystyle \int \left|\Psi (\mathbf {r} ,t)\right|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$, cette dernière relation (condition de normalisation) est nécessaire pour que ${\displaystyle \left|\Psi (\mathbf {r} ,t)\right|^{2}}$ puisse être interprétée de façon probabiliste, la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace étant égale à 1.

La fonction d'onde elle-même est en général à valeur complexe, et représente "l'amplitude de probabilité" de trouver la particule à une position donnée à l'instant t. Étant donné la fonction d'onde ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ de la particule, la valeur moyenne d'une observable quelconque de la particule dans un état ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ sera donnée par ${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =\int \Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left({\hat {A}}\Psi (\mathbf {r} ,t)\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$

Cas d'un état stationnaire

Lorsque le système est dans un état stationnaire, son vecteur d'état est de la forme ${\displaystyle |\Phi _{n}\rangle =\exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)|\phi _{n}\rangle }$, sa fonction d'onde correspondante s'écrit alors ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Phi _{n}\rangle =\exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)\langle \mathbf {r} |\phi _{n}\rangle =\exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)\psi _{n}(\mathbf {r} )}$, où ${\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\phi _{n}\rangle }$ est une fonction d'onde purement spatiale, solution de l'équation de Schrödinger stationnaire en représentation position:

${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\psi _{n}(\mathbf {r} )}$.

Dans un état stationnaire il y a donc séparation entre les parties "spatiale" et "temporelle" de la fonction d'onde^{[N 9]}, cette dernière partie étant un facteur de phase purement imaginaire. Ce facteur de phase est sans intérêt physique dès lors que le système se trouve dans un tel état, puisqu'il s'élimine lors de l'évaluation des valeurs moyennes des différentes observables.

Toutefois, il est important de souligner que dans le cas général, et du fait de la linéarité de l'équation de Schrödinger, toute superposition d'états stationnaires ${\displaystyle \exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)\psi _{n}(\mathbf {r} )}$ sera également solution de cette équation^{[N 10]}, et que par suite à un instant donné le système se trouvera dans une superposition de tels états, chacun d'eux ayant un certain "poids", la fonction d'onde correspondante étant alors de la forme:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{n}{a_{n}\exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)\psi _{n}(\mathbf {r} )}}$.

Dans un tel cas il est évident qu'il n'existe pas de facteur de phase global et il faudra tenir compte de la partie temporelle dans l'évaluation des valeurs moyennes d'une observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ donnée, puisqu'alors:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =\sum _{n'}\sum _{n}a_{n'}^{*}a_{n}\exp \left(\imath \omega _{n'n}t\right)A_{n'n}}$,

où ${\displaystyle A_{n'n}=\langle n'|{\hat {A}}|n\rangle =\int \psi _{n}^{*}(\mathbf {r} )\left({\hat {A}}\psi _{n}(\mathbf {r} )\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$ est l'élément de matrice de l'opérateur ${\displaystyle {\hat {A}}}$ entre les deux états stationnaires ${\displaystyle \psi _{n'}}$ et ${\displaystyle \psi _{n}}$, et ${\displaystyle \omega _{n'n}={\frac {E_{n'}-E_{n}}{\hbar }}}$ sont les fréquences de Bohr du système considéré^[2].

La valeur moyenne de l'observable est donc une somme de termes oscillants aux différentes fréquences de Bohr du système, sauf si le système est dans un état stationnaire, ou si tous les éléments de matrice non diagonaux de l'observable sont nuls.

Mise en évidence

De la même façon qu'en représentation position, la base ${\displaystyle \left\{|\mathbf {p} \rangle \right\}}$ constituant une base complète, il est possible de décomposer le vecteur d'état ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ de la particule sur celle-ci, ce qui donne:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \langle \mathbf {p} |\Psi \rangle |\mathbf {p} \rangle \,d^{3}\mathbf {p} }$,

et ${\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi \rangle }$ correspond alors par définition à la fonction d'onde en représentation impulsion du système. De la même façon que dans le cas de la représentation position, ${\displaystyle \left|\Phi (\mathbf {p} ,t)\right|^{2}}$ correspond à la densité de probabilité qu'une mesure de l'impulsion de la particule à l'instant t donne la valeur ${\displaystyle \mathbf {p} }$, à condition d'être normée à l'unité, c'est-à-dire de satisfaire la condition:

${\displaystyle \int \left|\Phi (\mathbf {p} ,t)\right|^{2}\,d^{3}\mathbf {p} =1}$,

l'intégration étant entendue comme portant sur la totalité de "l'espace des impulsions".

Dans le cas d'un état stationnaire, il est possible de montrer de la même façon que précédemment que la fonction d'onde se met sous la forme ${\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)=\exp \left(-\imath {\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)\phi _{n}(\mathbf {p} )}$, où ${\displaystyle \phi _{n}(\mathbf {p} )=\langle \mathbf {p} |\phi _{n}\rangle }$ est une fonction d'onde "purement dans l'espace des impulsions", solution de l'équation de Schrödinger stationnaire en représentation impulsion:

${\displaystyle {\hat {H}}\phi _{n}(\mathbf {p} )=E_{n}\phi _{n}(\mathbf {p} )}$.

Relation entre les fonctions d'onde dans les deux représentations

En utilisant la relation de fermeture sur la base ${\displaystyle \left\{|\mathbf {r} \rangle \right\}}$, il vient:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {p} ,t)&=\langle \mathbf {p} |\Psi \rangle =\langle \mathbf {p} |\left(\int |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\,d^{3}\mathbf {r} \right)|\Psi \rangle \\&=\int \langle \mathbf {p} |\mathbf {r} \rangle \Psi (\mathbf {r} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \end{aligned}}}$,

or ${\displaystyle \langle \mathbf {p} |\mathbf {r} \rangle =\psi _{\mathbf {p} }^{*}(\mathbf {r} )}$ où ${\displaystyle \psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )}$ est la fonction d'onde normalisée, en représentation position, associée aux états propres de l'opérateur impulsion, laquelle est donnée par (cf. article quantité de mouvement) ${\displaystyle \psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\exp \left(i{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{\hbar }}\right)}$, par suite il vient :

${\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\int \exp \left(-i{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{\hbar }}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} }$,

autrement dit la fonction d'onde en représentation impulsion ${\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)}$ est la transformée de Fourier de la fonction d'onde en représentation position ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$.

Il est immédiat que la réciproque est vraie, donc ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\int \exp \left(i{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{\hbar }}\right)\Phi (\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {p} }$, transformée de Fourier inverse de ${\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)}$.