Spin

Le spin (/s p i n/) est, en physique quantique, une des propriétés internes des particules, au même titre que la masse ou la charge électrique. Comme d'autres observables quantiques, sa mesure donne des valeurs discrètes et est soumise au principe d'incertitude. C'est la seule observable quantique qui ne présente pas d'équivalent classique^[1], contrairement, par exemple, à la position, l'impulsion ou l'énergie d'une particule.

Il est toutefois souvent assimilé au moment cinétique (cf paragraphe 2 de cet article, ou Précession de Thomas). Enfin, le moment cinétique intrinsèque (de spin) et le moment magnétique intrinsèque (de spin) sont tous deux confondus sous le terme de « spin ».

Le spin a d'importantes implications théoriques et pratiques, il influence pratiquement tout le monde physique. Il est responsable du moment magnétique de spin et donc de l'effet Zeeman anomal (parfois incorrectement appelé anormal) qui en découle.

Les particules sont classées selon la valeur de leur nombre quantique de spin (aussi appelé communément le spin) : les bosons qui ont un spin entier (0, 1, 2...) et les fermions pour lesquels le spin est demi-entier (1/2, 3/2, 5/2...). Fermions et bosons se comportent différemment dans des systèmes comprenant plusieurs particules identiques ; le fait que l'électron soit un fermion est ainsi la cause du principe d'exclusion de Pauli et des irrégularités de la table périodique des éléments. L'interaction spin-orbite conduit à la structure fine du spectre atomique. Le spin de l'électron joue un rôle important dans le magnétisme. La manipulation des courants de spins dans des nano-circuits conduit à un nouveau champ de recherche : la spintronique. La manipulation des spins nucléaires par des champs radiofréquences conduit au phénomène de résonance magnétique nucléaire utilisé dans la spectroscopie RMN et l'imagerie médicale (IRM). Le spin du photon – ou plus exactement son hélicité – est associé à la polarisation de la lumière.

Historique

La genèse du concept de spin fut l'une des plus difficiles de l'histoire de la physique quantique aux années 1920^[2]. L'effet Zeeman anomal, la structure hyperfine des raies spectrales observées, ou encore l'expérience de Stern et Gerlach (1922) posèrent à cette époque de grosses difficultés d'interprétation. La découverte du concept de spin par Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck, en septembre 1925^[3], a été révolutionnaire. Immédiatement après la publication, un problème de facteur 2 dans la structure fine du spectre de l'hydrogène, identifié par Heisenberg, fut résolu par les deux physiciens et publié en décembre 1925^[4]. Leur interprétation incorporait la nouvelle notion de spin.

Le spin a d'abord été interprété comme un degré de liberté supplémentaire, s'ajoutant aux trois degrés de liberté de translation de l'électron : son moment cinétique intrinsèque (ou propre). En d'autres termes, l'électron ponctuel était vu comme tournant sur lui-même — d'où le nom de « spin » (de l'anglais « to spin » : faire tourner). Mais il est vite apparu que cette « rotation » devait être considérée comme purement quantique : elle n'a pas d'équivalent en mécanique classique. La représentation du spin en termes de simple rotation a donc été abandonnée. Wolfgang Pauli avait déjà noté en 1924 que, compte tenu des dimensions estimées de l'électron, une rotation de l'électron nécessiterait une vitesse tangentielle de rotation à son équateur qui serait supérieure à la vitesse de la lumière^[5], vitesse par principe infranchissable selon la théorie de la relativité restreinte.

La notion théorique de spin a été introduite par Pauli en décembre 1924^[6] pour l'électron, afin d'expliquer un résultat expérimental qui restait incompréhensible dans le cadre naissant de la mécanique quantique non-relativiste : l'effet Zeeman anomal. L'approche développée par Pauli consistait à introduire de façon ad hoc le spin en ajoutant un postulat supplémentaire aux autres postulats de la mécanique quantique non-relativiste (équation de Schrödinger, etc.).

En 1927, Wolfgang Pauli a proposé la modélisation du spin en termes de matrice, ce qui correspond à une écriture en termes d'opérateurs sur la fonction d'onde intervenant dans l'équation de Schrödinger : l'équation de Pauli. En 1928, à partir de l'équation de Klein-Gordon, Paul Dirac démontra qu'une particule ayant un spin non nul vérifie une équation relativiste, appelée aujourd'hui équation de Dirac.

Enfin, c'est en théorie quantique des champs que le spin montre son caractère le plus fondamental. L'analyse du groupe de Poincaré effectuée par Wigner en 1939 montra en effet qu'une particule est associée à un champ quantique, opérateur qui se transforme comme une représentation irréductible du groupe de Poincaré. Ces représentations irréductibles se classent par deux nombres réels positifs : la masse et le spin.

Le spin du photon a été mis en évidence expérimentalement par Râman et Bhagavantam en 1931^[7].

Le moment cinétique de spin

Le spin est le moment cinétique intrinsèque des particules quantiques. Il est donc soumis aux mêmes lois générales qui régissent tout autre moment cinétique quantique, tel que, par exemple, le moment cinétique orbital^[8].

Le spin est donc un opérateur vectoriel hermitien ${\hat {S}}$ comportant trois composantes, notées usuellement ${\hat {S}}_{x},\,{\hat {S}}_{y}$ et ${\hat {S}}_{z}$ par référence aux trois axes de coordonnées cartésiennes utilisables dans l'espace physique. Ces composantes sont des observables vérifiant les relations de commutations caractéristiques d'un moment cinétique^[9] :

\left[\,{\hat {S}}_{i}\,,\ {\hat {S}}_{j}\,\right]\ =\ i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ {\hat {S}}_{k}

où $\epsilon _{ijk}$ est le symbole de Levi-Civita et

\left[{\hat {S}}^{2},{\hat {S}}_{i}\right]=0

Ces relations de commutations sont analogues à celles découvertes en novembre 1925 par Born, Heisenberg et Jordan pour les composantes du moment cinétique orbital. Ces relations de commutations impliquent que le principe d'incertitude s'applique aux mesures du spin faites dans les différentes directions de l'espace : on peut en effet mesurer très exactement la norme du vecteur et une projection sur un axe de coordonnées, mais les deux autres projections sur les deux autres axes orthogonaux ne sont plus alors mesurables précisément.

Par analogie avec les résultats obtenus pour le moment cinétique orbital (ou plus généralement pour un moment cinétique quantique), il existe pour l'opérateur spin une base de vecteurs propres notés $|s,m_{s}\rangle$ , où $s$ est entier ou demi-entier, et $m_{s}$ est un entier ou demi-entier prenant l'une des $2s+1$ valeurs $-\,s\leq m_{s}\leq s$ , tels que :

{\hat {S}}^{2}\ |s,m_{s}\rangle \ =\ s(s+1)\,\hbar ^{2}\ |s,m_{s}\rangle \qquad (1)

{\hat {S}}_{z}\ |s,m_{s}\rangle \ =\ m_{s}\,\hbar \ |s,m_{s}\rangle \qquad (2)

Le nombre $s$ est un nombre quantique, qui est aussi appelé le spin (de manière impropre toutefois).

Les valeurs propres des opérateurs ${\hat {S}}^{2}$ et ${\hat {S}}_{z}$ représentent l'ensemble des mesures possibles pour les deux observables, c'est-à-dire respectivement le carré de la norme, et la projection sur un axe $z$ arbitraire dans l'espace.

Spin des particules élémentaires et composites

Toutes les particules connues ou d'existence fortement suspectée ont un nombre quantique de spin compris entre 0 et 2. C'est en particulier le cas des particules élémentaires.

Spin 0 : le boson de Higgs ;
Spin 1/2 : l'électron, le positron, les neutrinos, les quarks, etc.;
Spin 1 : le photon, le gluon (vecteur de l'interaction forte), les bosons W^± et Z⁰ (vecteurs de l'interaction faible);
Spin 2 : le graviton, particule hypothétique, qui serait vecteur de la gravitation.

Il n'existe pas de particule élémentaire connue de spin 3/2, mais la théorie de la supersymétrie en prédit une, le gravitino.

Le spin (à l'état fondamental) des particules composées de plusieurs particules élémentaires, comme le proton, le neutron, tout noyau atomique ou encore tout atome, est constitué des spins des particules élémentaires qui les composent, auquel s'ajoute le moment cinétique orbital de ces différentes particules élémentaires^[10] :

Spin 0 : noyaux atomiques tels que ¹²C, ¹⁶O, ²⁸Si… et de manière générale les noyaux composés d'un nombre pair de protons et de neutrons ;
Spin 1/2 : le proton, le neutron, et certains noyaux atomiques, par exemple : ¹³C, ²⁹Si, etc. ;
Spin > 1/2 : les noyaux de 75 % des isotopes stables, par exemple ¹⁴N spin 1, ³⁵Cl spin 3/2, ²⁰⁹Bi spin 9/2.

Il n'est pas toujours facile de déduire le spin d'une particule à partir de principes simples ; par exemple, même s'il est connu que le proton a un spin 1/2, la question de savoir comment les particules élémentaires qui le composent sont disposées et arrangées est toujours un sujet actif de recherche (voir structure de Spin des nucléons)^[11]^,^[12].

Comme le montre le théorème spin-statistique, la valeur entière ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale de la particule :

si son spin est entier, elle suit la statistique de Bose-Einstein, et c'est un boson,
si son spin est demi-entier, en raison du principe d'exclusion de Pauli, elle suit la statistique de Fermi-Dirac, et c'est un fermion.

Aux hautes températures, ces statistiques tendent toutes les deux vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, la différence explique que seuls les bosons puissent former un condensat de Bose-Einstein.

Spin 1/2 - matrices de Pauli

Pour une particule de nombre quantique de spin $s=1/2$ comme l'électron, le proton ou le neutron, donc $2s+1=2$ : il existe seulement deux états de spin distincts, caractérisés par $m_{s}=\pm 1/2$ .

On note souvent les deux états propres correspondants : $|+\rangle$ et $|-\rangle$ , ou encore : $|\uparrow \rangle$ et $|\downarrow \rangle$ .

Pauli a introduit trois matrices 2 × 2^[13], notées ${\hat {\sigma }}_{i},\ i=x,y,z$ telles que l'opérateur de spin s'écrive :

{\hat {S}}_{i}\ =\ {\frac {\hbar }{2}}\ {\hat {\sigma }}_{i}

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement :

{\hat {\sigma }}_{x}\ =\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{y}\ =\ {\begin{pmatrix}0&-\ \mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{z}\ =\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-\ 1\end{pmatrix}}

Elles satisfont les relations de commutation :

\left[\,{\hat {\sigma }}_{i}\,,\ {\hat {\sigma }}_{j}\,\right]\ =\ 2\ \mathrm {i} \ \epsilon _{ijk}\ {\hat {\sigma }}_{k}

Il a été remarqué qu'il s'agit là des relations entre quaternions découvertes par William Rowan Hamilton, ce qui donne une représentation plus compacte des opérateurs de spin.

Orientation du spin

Composantes du spin et multiplicité de spin

En mécanique classique, le moment angulaire d'une particule possède non seulement une magnitude (vitesse de rotation de la particule), mais également une direction (direction de l'axe de rotation de la particule).

En mécanique quantique, le moment angulaire de spin (spin) contient également ces informations, mais dans une forme plus subtile. La mécanique quantique montre en effet, par l'intermédiaire des équations (1) et (2) ci-dessus (voir #Le moment cinétique de spin), que si l'état du moment angulaire de spin est l'un des états propres de ${\hat {S}}^{2}$ , la composante du spin mesurée selon une direction quelconque, c'est-à-dire sa projection sur un axe quelconque (par exemple l'axe z), ne peut prendre que les valeurs quantifiées suivantes :

S_{z}=\langle s,m_{s}\vert {\hat {S}}_{z}\vert s,m_{s}\rangle =m_{s}\hbar ,\qquad m_{s}=-s,-s+1,\cdots ,s-1,s

où s est le nombre quantique de spin de la particule. On peut constater qu'il existe 2s+1 valeurs possibles de $m_{s}$ . Le nombre 2s+1 est appelé la multiplicité de spin. Par exemple, il n'y a que deux valeurs possibles pour une particule de spin 1/2 : $m_{s}=\pm 1/2$ . Cela correspond à deux états quantiques, notés symboliquement $\vert \uparrow \rangle$ et $\vert \downarrow \rangle$ , pour lesquels la projection du spin pointe respectivement dans la direction +z ou -z. La valeur de la projection dans les autres directions de l'espace, x ou y par exemple, est par contre indéterminée, du fait des relations de non-commutation (ou d'« incertitude ») entre les trois composantes du spin. En d'autres termes, si on ne s'intéresse qu'à un spin individuel, il n'est pas possible de déterminer avec précision sa direction dans l'espace (c'est en quelque sorte l'équivalent du principe d'incertitude de Heisenberg en ce qui concerne la vitesse et la position d'une particule, qui ne peuvent pas être déterminées simultanément).

Représentation géométrique du spin par une sphère de Riemann

Représentation géométrique d'un état de spin 1/2 par une sphère de Riemann.

Un état quantique quelconque d'une particule isolée de spin s = 1/2 peut s'exprimer sous la forme générale :

|\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle

où a et b sont deux nombres complexes. Cette formule exprime une superposition des deux états propres.

Penrose montre que l'état de spin 1/2 peut être caractérisé par le rapport des deux nombres complexes $u=b/a$ ^[14]. Si cette valeur est projetée sur une sphère de Riemann, qui permet de représenter l'ensemble des nombres complexes, il est possible d'établir une correspondance entre un état de spin et une direction dans l'espace ordinaire.

Selon cette représentation, tout état quantique $|\nearrow \rangle$ d'un spin s = 1/2 correspond à un point sur la sphère dont la projection stéréographique sur le plan complexe (le plan équatorial de la sphère) est ce rapport u. Ce point définit un vecteur correspondant à l'orientation de la polarisation d'un ensemble de spins placés dans le même état $|\nearrow \rangle$ (voir #Signification physique du vecteur d'orientation du spin).

Représentation sur une sphère de Bloch

Représentation de la direction moyenne (ou « polarisation ») du moment angulaire d'un spin s = 1/2 par rapport à un axe

z

choisi arbitrairement comme axe de quantification

Une autre représentation est possible, celle de la sphère de Bloch.

Dans cette représentation, les coefficients $a$ et $b$ sont définis en utilisant des coordonnées angulaires sphériques^[15]^,^[16] :

a=\cos(\theta /2)

b=\sin(\theta /2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }

Le vecteur représentant l'état $\vert \nearrow \rangle$ est alors représenté comme sur la figure ci-contre. Cette représentation est bien entendu parfaitement équivalente à la représentation précédente sur une sphère de Riemann, pour laquelle le rapport u vaut :

u=b/a=\tan(\theta /2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }

Signification physique du vecteur d'orientation du spin

Les représentations précédentes n'indiquent pas explicitement la direction proprement dite du spin (laquelle est indéterminée, comme il a été dit plus haut), mais plus exactement la direction moyenne d'un spin préparé expérimentalement dans un état particulier $|\nearrow \rangle$ , sur lequel un grand nombre de mesures seraient réalisées, ou bien encore peut représenter celle d'un ensemble statistiquement significatif de particules placées dans le même état, sur lequel un nombre réduit de mesures (voire une seule) seraient faites. Ces deux types de protocoles de mesures donnent le même résultat, d'après le principe ergodique de Gibbs.

Pour un système préparé dans un état quantique de spin quelconque, il n'est possible de décrire les trois projections d'un moment angulaire spin sur trois axes orthogonaux que par des valeurs moyennes^[17]:

$\langle S_{i}\rangle =\langle \nearrow |{\hat {S}}_{i}|\nearrow \rangle \qquad i=x,y,z$

Le vecteur ${\vec {S}}$ défini par les trois projections ${\big (}\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle {\big )}$ décrit une « direction » vers laquelle pointe la direction moyenne du moment angulaire du spin, et qu'il est judicieux d'appeler polarisation^[18]. C'est exactement l'orientation de ce vecteur qui a été représentée précédemment sur la sphère de Riemann ou de Bloch. Il s'avère que ce vecteur de polarisation du spin a une signification physique pratique, notamment en spectroscopie de résonance magnétique nucléaire (RMN). Dans cette technique, les spins des protons (ou de tout autre noyau atomique possédant un spin non nul) peuvent être préparés dans n'importe quel état donné. Par exemple, si le système de spin est placé dans un champ magnétique homogène, la polarisation moyenne à l'équilibre thermodynamique correspond à l'état $|\uparrow \rangle$ . L'application d'impulsions radiofréquence choisies permet ensuite de polariser les spins dans n'importe quelle autre direction de l'espace^[18]. Le signal RMN maximum est obtenu lorsque la bobine de détection est orientée selon la direction de cette polarisation. Dans le cas de l'électron, la spectroscopie de résonance paramagnétique électronique (RPE) est fondée sur exactement les mêmes principes.

L'expérience de Stern et Gerlach

Le moment magnétique de spin

Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge $q$ et de masse $m$ est associé un moment magnétique orbital :

{\vec {\mu }}_{L}\ =\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {L}}

Le facteur $q/2m$ est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge $q$ , de masse $m$ , et de spin donné un moment magnétique de spin :

{\vec {\mu }}_{S}\ =\ g\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {S}}

où $g$ est un nombre sans dimension, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement $g=2$ pour l'électron, $g=5,586$ pour le proton, et $g=-\,3,826$ pour le neutron^[19]. On trouve aussi des valeurs moitié pour le proton et le neutron qui correspondraient à un moment magnétique anomal.

Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivantes : $s=1/2$ et $g=2,002$ ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé magnéton de Bohr :

\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{e}}}

Moment magnétique anomal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à $g=2$ . Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

g\ \simeq \ 2,002\ 319\ 304\ 373\ 7

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium^[20] : on parle alors du moment magnétique anomal de l'électron. La théorie quantique des champs du modèle standard permet de rendre compte de cette anomalie avec une très grande précision.

Spin et représentation de groupes

L'analyse du comportement des objets sous l'effet des rotations nécessite de prendre en compte la structure mathématique de groupe formé par celles-ci. À un objet se transformant sous les rotations est alors associée une représentation de groupe. Deux objets ayant des propriétés de symétrie similaires seront donc associés à des représentations équivalentes du groupe des rotations. De ce point de vue, le spin n'est rien d'autre qu'un nombre qui permet de classifier les différentes représentations irréductibles non équivalentes du groupe des rotations.

Le spin dans l'art

Father et Mother de la série Spin Family (2009), par le physicien et sculpteur Julian Voss-Andreae. Les deux objets représentés illustrent la géométrie d’un objet de spin 5/2 (le « mâle » bleu à gauche) et d’un objet de spin 2 (la « femelle » rose à droite). L’œuvre Spin Family, présentée dans l’exposition « Quantum Objects », compare avec humour les fermions au sexe masculin et les bosons au sexe féminin. Les objets de spin 1/2, 1, 3/2, 2 et 5/2 constituent alors une famille de 5 personnes^[21].

Références

↑ Gérard Dupuis, « Résonance magnétique nucléaire - Lycée Faidherbe de LILLE - », sur www.faidherbe.org (consulté le 5 décembre 2016).
↑ S.A. Goudsmit, « Discovery of the spin of the electron / La découverte du spin de l'électron », Journal de Physique, vol. 28,‎ 1967, p. 6 (DOI 10.1051/jphys:01967002801012301, lire en ligne).
↑ G. E. Uhlenbeck, S. Goudsmit, « Ersetzung der hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine forderung bezglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen elektrons », Naturwissenschaften, vol. 13,‎ 1925, p. 953 (lire en ligne).
↑ S. Goudsmit, G.E. Uhlenbeck, « Spinning Electrons and the Structure of Spectra », Nature, vol. 117,‎ 20 février 1926, p. 264-265 (DOI 10.1038/117264a0, lire en ligne).
↑ Manjit Kumar, Le grand roman de la physique quantique, 2008 (ISBN 978-2-7096-2465-7).
↑ W. Pauli, « Über den Einfluss der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt. », Zeitschrift fur Physik, vol. 31,‎ 1925, p. 373
↑ C. V. Raman, S. Bhagavantam, « Experimental proof of the spin of the photon », Indian J. Phys, vol. 6,‎ 1931, p. 353-366 (lire en ligne).
↑ Toute la physique, article Spin, éditeur Dunod, 1999.
↑ J.L. Basdevant,J. Dalibard, Physique Quantique, Ellipses, 1997, p. 227.
↑ P. Lemmens, P. Millet, « Spin - Orbit - Topology, a Triptych », Lect. Notes Phys, vol. 645,‎ 2004, p. 433–477 (lire en ligne).
↑ Spin Muon Collaboration (SMC)
↑ S.E. Kuhn, J. -P Chen, E. Leader, « Spin Structure of the Nucleon - Status and Recent Results », 0812.3535,‎ 2008 (DOI doi:10.1016/j.ppnp.2009.02.001, lire en ligne, consulté le 22 décembre 2010).
↑ Jacques Léon, La construction de la matière : le modèle standard, ellipse, 2016 (ISBN 9782340-010079), p.208.
↑ Roger Penrose A la découverte des lois de l'univers, Odile Jacob 2007. Paragraphe 22.9. Penrose procède par une identification de l'espace projectif $\mathbb {P} \mathbf {H} ^{2}$ , matérialisée par une sphère de Riemann, et la géométrie des directions dans l'espace. $\mathbf {H} ^{2}$ (espace de Hilbert de dimension 2) étant un espace de représentation de SO(3), toute direction du spin y est incluse. Cette identification a été également exploitée par Ettore Majorana pour une représentation géométrique des spins élevés (supérieurs à 1/2).
↑ Bloch Sphère par Ian Glendinning.
↑ Optical Generation and Control of Quantum Coherence in Semiconductor… Par Gabriela Slavcheva,Philippe Roussignol (eq. 5.1).
↑ C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition].
1 2 Malcolm H. Levitt, Spin Dynamics: Basics of Nuclear Magnetic Resonance, 2st ed. (Wiley, 2008).
↑ Bien que le neutron ait une charge $q=0$ , on lui attribue ici un facteur de Landé correspondant au moment magnétique de spin calculé pour la valeur $q=e$ , afin de le comparer à ceux de l'électron et du proton.
↑ [PDF] (en) Marc Knecht, « The anomalous magnetic moments of the electron and the muon », séminaire Poincaré (Paris, 12 octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.), Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser, 2003 (ISBN 3-7643-0579-7).
↑ Quantum objects on show.

Voir aussi

Bibliographie

Wolfgang Pauli ; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373.
George E. Uhlenbeck et Samuel Goudsmit ; Naturwissenschaften 13 (1925) 953.
Samuel Goudsmit et George E. Uhlenbeck ; Nature 117 (1926) 264.
Sin-Itiro Tomonaga ; The story of spin, The university of Chicago press (1997), (ISBN 0-226-80794-0). Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), (ISBN 3-7643-0579-7).

Liens externes

Animation, applications et recherches liées au spin