Extensions de nom de fichiers JPEG

Les extensions de nom de fichiers les plus communes pour les fichiers employant la compression JPEG sont .jpg et .jpeg, cependant .jpe, .jfif et .jif furent aussi utilisées. Il est aussi possible pour les données JPEG d'être embarquées dans d'autres types de fichiers - les fichiers codés en format TIFF contiennent souvent une image miniature JPEG de l'image principale ; et les fichiers MP3 peuvent contenir une image JPEG d'une couverture, contenue dans le tag ID3v2.

L'extension JPG est apparue dans les années 1990 parce que certains systèmes d'exploitation de cette période (ex. : MS-DOS, Windows 95, 98, Me) ne permettaient pas d'utiliser d'extension de fichier de plus de 3 caractères.

Transformation des couleurs

JPEG est capable de coder les couleurs sous n’importe quel format, toutefois les meilleurs taux de compression sont obtenus avec des codages de couleur de type luminance/chrominance car l’œil humain est assez sensible à la luminance (la luminosité) mais peu à la chrominance (la teinte) d'une image. Afin de pouvoir exploiter cette propriété, l'algorithme convertit l'image d'origine depuis son modèle colorimétrique initial (en général RVB) vers le modèle de type chrominance/luminance YCbCr. Dans ce modèle, Y est l'information de luminance, et Cb et Cr sont deux informations de chrominance, respectivement le bleu moins Y et le rouge moins Y.

Sous-échantillonnage de la chrominance

Illustration des différents types de sous-échantillonnage

Pour exploiter cette faible sensibilité de l’œil humain à la chrominance, on peut procéder à un sous-échantillonnage de ses signaux. Le principe de l'opération est de réduire de la taille de plusieurs blocs de chrominance en un seul bloc. Un traitement identique est appliqué aux blocs Cb et aux blocs Cr, tandis que les blocs de luminance (blocs Y) ne sont pas modifiés. Le sous-échantillonnage peut être réalisé selon plusieurs modes différents. Le type de mode utilisé dans une opération de compression est spécifié par la notation « J:a:b ».

L’interprétation de la notation est la suivante :

J : représente la largeur de la plus petite matrice de pixels considérée (généralement 4)

a : le nombre de composantes de chrominance dans la première ligne

b : le nombre de composantes de chrominance supplémentaires dans la deuxième ligne

Découpage en blocs

L’image est découpée en blocs de 64 (8 × 8) sous-pixels. Les informations de luminance n’étant pas sous-échantillonnées, chaque bloc correspond à 8 × 8 pixels dans l’image d’origine. Les informations de chrominance, par contre, correspondent en fonction du sous-échantillonnage à 8 × 8, 16 × 8 ou 16 × 16 pixels dans l’image d’origine.

Transformée DCT

La transformée DCT (Discrete Cosine Transform, en français transformée en cosinus discrète), est une transformation numérique qui est appliquée à chaque bloc. Cette transformation est une variante de la transformée de Fourier. Elle décompose un bloc, considéré comme une fonction numérique à deux variables, en une somme de fonctions cosinus oscillant à des fréquences différentes. Chaque bloc est ainsi décrit en une carte de fréquences et en amplitudes plutôt qu'en pixels et coefficients de couleur. La valeur d’une fréquence reflète l’importance et la rapidité d’un changement, tandis que la valeur d’une amplitude correspond à l’écart associé à chaque changement de couleur.

À chaque bloc de ${\displaystyle N\cdot N}$ pixels sont ainsi associées ${\displaystyle N\cdot N}$ fréquences

La transformée DCT s’exprime mathématiquement par :

${\displaystyle \mathrm {DCT} (i,j)={\frac {2}{N}}C(i)C(j)\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}\mathrm {pixel} (x,y)\cos \left[{\frac {(2x+1)i\pi }{2N}}\right]\cos \left[{\frac {(2y+1)j\pi }{2N}}\right]}$
Équation 1 : Transformée DCT directe.

Et la transformée DCT inverse s’exprime par :

${\displaystyle \mathrm {pixel} (x,y)={\frac {2}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}\sum _{j=0}^{N-1}C(i)C(j)\,\mathrm {DCT} (i,j)\cos \left[{\frac {(2x+1)i\pi }{2N}}\right]\cos \left[{\frac {(2y+1)j\pi }{2N}}\right]}$
Équation 2 : Transformée DCT inverse.

Dans les deux cas, la constante ${\displaystyle C\,\!}$ vaut :

${\displaystyle C(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&\mathrm {pour} ~x=0\\[1ex]1&\mathrm {pour} ~x>0\end{matrix}}\right.}$
Équation 3 : Définition de la constante C.

Pour illustrer la compression, a été repris un exemple complet provenant de Digital Image Compression Techniques de Majid Rabbani et Paul W. Jones^[4].

Matrice (bloc de pixels) de base :

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}139&144&149&153&155&155&155&155\\144&151&153&156&159&156&156&156\\150&155&160&163&158&156&156&156\\159&161&162&160&160&159&159&159\\159&160&161&162&162&155&155&155\\161&161&161&161&160&157&157&157\\162&162&161&163&162&157&157&157\\162&162&161&161&163&158&158&158\end{bmatrix}}}$
Équation 4 : Matrice d’origine.

En effectuant la transformée DCT, on obtient la matrice des fréquences suivante :

${\displaystyle F={\begin{bmatrix}1260&-1&-12&-5&2&-2&-3&1\\-23&-17&-6&-3&-3&0&0&-1\\-11&-9&-2&2&0&-1&-1&0\\-7&-2&0&1&1&0&0&0\\-1&-1&1&2&0&-1&1&1\\2&0&2&0&-1&1&1&-1\\-1&0&0&-1&0&2&1&-1\\-3&2&-4&-2&2&1&-1&0\end{bmatrix}}}$
Équation 5 : Matrice transformée DCT.

L'application de la DCT est une opération théoriquement sans perte d'informations ; les coefficients initiaux peuvent être retrouvés en appliquant la « DCT inverse » au résultat de la DCT. Dans la pratique, une certaine perte d'informations reste cependant possible en raison des erreurs d'arrondis introduites en cours de calcul.

Quantification

La quantification est l’étape de l'algorithme de compression JPEG au cours de laquelle se produit la majeure partie de la perte d'information (et donc de la qualité visuelle), mais c'est aussi celle qui permet de gagner le plus de place (contrairement à la DCT, qui ne compresse pas).

La DCT a retourné, pour chaque bloc, une matrice de 8 × 8 nombres (dans l’hypothèse que les blocs de l’image font 8 × 8 pixels). La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée matrice de quantification, et qui contient 8 × 8 coefficients spécifiquement choisis par le codeur.

Le but est ici d’atténuer les hautes fréquences, c’est-à-dire celles auxquelles l’œil humain est très peu sensible. Ces fréquences ont des amplitudes faibles, et elles sont encore plus atténuées par la quantification ; certains coefficients sont même souvent ramenés à 0.

Le calcul permettant la quantification est le suivant :

${\displaystyle F^{*}(u,v)=\left\lfloor {F(u,v)+\left\lfloor {Q(u,v) \over 2}\right\rfloor \over Q(u,v)}\right\rfloor \cong }$ entier le plus proche ${\displaystyle \left({F(u,v) \over Q(u,v)}\right)}$
Avec : ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ entier directement inférieur à ${\displaystyle x\,\!}$
Équation 6 : Calcul de la quantification.

Et pour la quantification inverse :

${\displaystyle {\hat {F}}(u,v)=F^{*}(u,v)\cdot Q(u,v)}$
Équation 7 : Calcul de la quantification inverse.

Comme le montre l'exemple ci-dessous, la quantification ramène beaucoup de coefficients à 0 (surtout en bas à droite dans la matrice, là où se trouvent les hautes fréquences). Seules quelques informations essentielles (concentrées dans le coin en haut à gauche) sont gardées pour représenter le bloc. La redondance des données contenues dans le bloc augmente ainsi fortement, ce qui peut être exploité par un algorithme de compression : au moment de coder le résultat dans le fichier, la longue suite de zéros nécessitera très peu de place. Cependant, si la quantification est trop forte (= taux de compression trop élevé), il y aura trop peu de coefficients non nuls pour représenter fidèlement le bloc. Le problème apparaîtra lors du décodage nécessaire pour l'affichage de l'image : à l’écran la division en blocs deviendra visible, et l'image aura un aspect « pixellisé ».

Dans notre exemple, nous avons pris la matrice de quantification suivante :

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}16&11&10&16&24&40&51&61\\12&12&14&19&26&58&60&55\\14&13&16&24&40&57&69&56\\14&17&22&29&51&87&80&62\\18&22&37&56&68&109&103&77\\24&35&55&64&81&104&113&92\\49&64&78&87&103&121&120&101\\72&92&95&98&112&100&103&99\end{bmatrix}}}$
Équation 8 : Matrice définissant le niveau de quantification.

Ce qui donne comme matrice des fréquences quantifiée :

${\displaystyle F^{*}={\begin{bmatrix}79&0&-1&~0~&~0~&~0~&~0~&~0~\\-2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$
Équation 9 : Matrice quantifiée.

Codage, compression RLE et Huffman

Le codage s’effectue en zigzag comme le montre la figure suivante et se termine par un caractère de fin :

Figure 2 : Ordre de codage défini par la norme JPEG.

Codage de notre exemple : ${\displaystyle 79,0,-2,-1,-1,-1,0,0,-1,EOB\,\!}$.

Ce résultat est ensuite compressé selon un algorithme RLE basé sur la valeur 0 (le codage RLE intervient uniquement sur cette dernière), puis un codage entropique de type Huffman ou arithmétique.

Avec le schéma de codage très simplifié suivant, on remarque que le codage nous délivre deux tables (quatre pour une image couleur). Ces tables étant enregistrées dans le fichier final peuvent être choisies par le compresseur.

Figure 3 : Schéma de codage simplifié.

Décompression JPEG

Les étapes de la décompression s’effectuent dans l’ordre inverse de la compression suivant les méthodes définies précédemment (en même temps que la compression).

Voici dans notre exemple le résultat de la décompression :

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}144&146&149&152&154&156&156&156\\148&150&152&154&156&156&156&156\\155&156&157&158&158&157&156&155\\160&161&161&162&161&159&157&155\\163&163&164&164&162&160&158&156\\163&163&164&164&162&160&158&157\\160&161&162&162&162&161&159&158\\158&159&161&161&162&161&159&158\end{bmatrix}}}$
Équation 10 : Résultat de la décompression.

Ainsi que la matrice d’erreur :

${\displaystyle e={\begin{bmatrix}-5&-2&0&1&1&-1&-1&-1\\-4&1&1&2&3&0&0&0\\-5&-1&3&5&0&-1&0&1\\-1&0&1&-2&-1&0&2&4\\-1&0&1&-2&-1&0&2&4\\-2&-2&-3&-3&-2&-3&-1&0\\2&1&-1&1&0&-4&-2&-1\\4&3&0&0&1&-3&-1&0\end{bmatrix}}}$
Équation 11 : Matrice des erreurs réalisées par les pertes.

JPEG, codage sans pertes

Ici, la précision p des échantillons varie de 2 à 16 bits. À la place de la DCT, le codage utilise un prédicteur P à trois échantillons.

Figure 4 : Schéma de compression JPEG sans pertes.

Articles connexes

• DCT
• Compression d'image