Cet algorithme est valide pour toutes les dates du calendrier grégorien (c'est-à-dire égales ou postérieures au 15 octobre 1582), et donne la valeur du JJ à 12 heures.

Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8

Soit A l'année (≥ 1582), M le numéro du mois (de 1 à 12) et Q le quantième dans le mois (comportant, au besoin, des décimales).

• Si M > 2, laisser A et M inchangés ;
• Si M = 1 ou 2, remplacer A par A - 1 et M par M + 12 ;
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle S=\operatorname {ENT} ({\frac {A}{100}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle B=2-S+\operatorname {ENT} ({\frac {S}{4}})}$
• Le jour julien JJ est donné par l'expression :

${\displaystyle \scriptstyle JJ=\operatorname {ENT} (365,25A)+\operatorname {ENT} (30,6001(M+1))+Q+B+1720994,5}$

Nota :Dans les calculs précédents, la constante 30,6001 ne doit pas être remplacée par 30,6, faute de quoi les résultats risquent d'être inexacts.

Cette méthode n'est valide que pour les jours juliens positifs. En pratique, elle n'a de sens que pour JJ ≥ 2 299 161 (jour julien correspondant au 15 octobre 1582, date d'instauration du calendrier grégorien). En deçà, cet algorithme calcule la date du calendrier julien.

Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8

Soit JJ le jour julien à convertir. Si nécessaire, transformer JJ en jour julien à 0 h.

• Soit Z la partie entière de JJ et F la partie fractionnaire ;
• Si Z < 2 299 161 ou pour calculer vers le calendrier julien astronomique, prendre S = Z ;
• Si Z ≥ 2 299 161 ou pour calculer vers le calendrier grégorien astronomique, prendre :
  • ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =\operatorname {ENT} ({\frac {Z-1867216,25}{36524,25}})}$
  • ${\displaystyle \scriptstyle S=Z+1+\alpha -\operatorname {ENT} ({\frac {\alpha }{4}})}$
• Calculer ensuite :

${\displaystyle \scriptstyle B=S+1524~}$

${\displaystyle \scriptstyle C=\operatorname {ENT} ({\frac {B-122,1}{365,25}})}$

${\displaystyle \scriptstyle D=\operatorname {ENT} (365,25C)~}$

${\displaystyle \scriptstyle E=\operatorname {ENT} ({\frac {B-D}{30,6001}})}$

• Le quantième (et fraction de jour) Q est donné par :

${\displaystyle \scriptstyle Q=B-D-\operatorname {ENT} (30,6001E)+F~}$

• Le numéro du mois M est :
  • ${\displaystyle \scriptstyle M=E-1{\text{ si }}E<14~}$
  • ${\displaystyle \scriptstyle M=E-13{\text{ si }}E=14{\text{ ou }}15~}$
• L'année A vaut :
  • ${\displaystyle \scriptstyle A=C-4716{\text{ si }}M>2~}$
  • ${\displaystyle \scriptstyle A=C-4715{\text{ si }}M=1{\text{ ou }}2~}$

Remarque : l'algorithme de conversion du jour julien vers le calendrier grégorien donné ici permet notamment de convertir un jour julien négatif.

Cet algorithme est valide pour les dates du calendrier julien et julien proleptique (c'est-à-dire pour les dates égales ou postérieures au 1^er janvier -4712), et donne la valeur du JJ à 12 heures.

Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8

Soit A l'année (A ≥ -4712), M le numéro du mois (de 1 à 12) et Q le quantième dans le mois (avec, au besoin, une partie fractionnaire). Les jours juliens JJ correspondants résultent de l'algorithme suivant :

• Si M > 2, laisser A et M inchangés ;
• Si M = 1 ou 2, remplacer A par A - 1 et M par M + 12 ;
• Le jour julien JJ est donné par l'expression :

${\displaystyle \scriptstyle JJ=\operatorname {ENT} ({\frac {1461A+6884472}{4}})+\operatorname {ENT} ({\frac {153M-457}{5}})+Q-1}$

Cet algorithme est valide pour toutes les valeurs positives des jours juliens.

Notation : ENT(X) : entier immédiatement inférieur ou égal à X.. Par exemple ENT(2,3) = 2 ; ENT(3,6) = 3 ; ENT(-5,2) = -6 ; ENT(-7,8) = -8

À partir d'une date en jours juliens JJ, on obtient l'année A, le mois M et le quantième Q (éventuellement pourvu d'une partie fractionnaire) selon l'algorithme suivant :

• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle A=\operatorname {ENT} ({\frac {4JJ-6884469}{1461}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle R_{2}=JJ-\operatorname {ENT} ({\frac {1461A+6884472}{4}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle M=\operatorname {ENT} ({\frac {5R_{2}+461}{153}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle R_{1}=R_{2}-\operatorname {ENT} ({\frac {153M-457}{5}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle Q=R_{1}+1~}$
• Si M = 13 ou 14 : prendre A = A + 1 et M = M - 12
• Si M < 13, A et M sont inchangés.

Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7

Soit A, M et Q l'année, le mois et le quantième du calendrier hégirien.

La formule suivante donne le jour julien à 12 h JJ correspondant à A, M, Q :

${\displaystyle \scriptstyle JJ=\operatorname {TRONQ} ({\frac {10631A+58442583}{30}})+\operatorname {TRONQ} ({\frac {325M-320}{11}})+Q-1}$

Cet algorithme n'a de sens que pour JJ ≥ 1 948 437, jour julien correspondant au premier jour de l'Hégire (16 juillet 622 dans le calendrier julien).

Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7

Soit JJ le jour julien donné. Le convertir au besoin en jour julien à 0 h. On obtient l'année A, le mois M et le quantième Q du calendrier mulsulman par le calcul suivant :

• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle A=\operatorname {TRONQ} ({\frac {30JJ-58442554}{10631}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle R_{2}=JJ-\operatorname {TRONQ} ({\frac {10631A+58442583}{30}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle M=\operatorname {TRONQ} ({\frac {11R_{2}+330}{325}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle R_{1}=R_{2}-\operatorname {TRONQ} ({\frac {325M-320}{11}})}$
• Calculer ${\displaystyle \scriptstyle Q=R_{1}+1~}$

Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7

RES(d/D) : reste de la division entière de d par D. Par exemple : RES(17/5) = 2 ; RES(365/12) = 5

Soit A, M et Q l'année, le mois et le quantième du calendrier hébraïque. L'algorithme suivant donne le jour julien à 0 h JJ correspondant.

1. Calcul du moled de l'année A

Le moled de l'année A, Moled_A, est donné, avant de l'ajuster à l'heure de Jérusalem, en jours juliens et fraction de jour julien par^[17] :

${\displaystyle \scriptstyle Moled_{A}=347605+{\frac {3444371}{4924800}}+A(365+{\frac {24311}{98496}})+\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})(1+{\frac {272953}{492480}})}$

2. Calcul de Roch Hachana pour l'année A, RH_A, en jours juliens

Connaissant Moled_A, on prend E_A, partie entière de Moled_A et F_A, partie fractionnaire de Moled_A.

• • Calculer ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})}$

• • On détermine RH_A, date du nouvel an du calendrier hébraïque en jours juliens selon les règles suivantes :

${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 1, 3 ou 5 }}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 0 et }}\alpha \geqslant 7{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {311676}{492480}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+3}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 6 et }}\alpha \geqslant 12{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {442111}{492480}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Sinon}}}$			${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+1}$

3. Calcul de la longueur de l'année A

On obtient la longueur L de l'année hébraïque A en calculant :

L = RH_A+1 - RH_A

4. Calcul des jours juliens d'une date du calendrier hébraïque

• • La valeur de L permet de valoriser les constantes utilisées dans la suite du calcul selon la table suivante :

L	353	354	355	383	384	385
m0	4	7	3	4	8	3
d	88	177	60	88	207	60
r	5	5	5	4	5	7
Z	324	325	325	325	325	266
W	11	11	11	11	11	9

• • Si M ≥ m₀, alors prendre : A’ = 0 et M’ = M
  • Sinon, prendre, avec ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =\operatorname {TRONQ} ({\frac {12A+5}{19}})}$

${\displaystyle \scriptstyle A'=-1{\text{ et }}M'=M+\operatorname {TRONQ} (13+{\frac {6-\alpha }{19}})}$

• • Calculer JJ :

${\displaystyle JJ=RH_{A}+LA'+d+\operatorname {TRONQ} ({\frac {ZM'+r-Zm_{0}}{W}})+Q-1}$

Cet algorithme n'a de sens que pour JJ ≥ 347 997, jour julien correspondant à la date de la Création dans le calendrier hébraïque (6 octobre -3760 dans le calendrier julien proleptique).

Notation : TRONQ(X) : entier à gauche du séparateur décimal de X. Par exemple TRONQ(2,3) = 2 ; TRONQ(3,6) = 3 ; TRONQ(-5,2) = -5 ; TRONQ(-7,8) = -7

RES(d/D) : reste de la division entière de d par D. Par exemple : RES(17/5) = 2 ; RES(365/12) = 5

Soit JJ le jour julien donné. Le convertir si nécessaire en jour julien à 0 h. L'année A, le mois M et le quantième Q du calendrier hébraïque résultent du calcul suivant :

1. Calculs préliminaires

• • J₀, nombre de jours écoulés depuis la Création :

${\displaystyle \scriptstyle J_{0}=JJ-347997~}$

• • m, nombre moyen de mois depuis la Création :

${\displaystyle \scriptstyle m=\operatorname {TRONQ} ({\frac {J_{0}}{29+{\frac {13753}{25920}}}})}$

• • A valeur préliminaire de l'année du calendrier hébraïque

${\displaystyle \scriptstyle A=\operatorname {TRONQ} ({\frac {19m+252}{235}})}$

2. Jour julien RH_A de Rosch Hachana pour l'année A

2.1 Calculer le moled Moled_A de l'année hébraïque A en jours juliens et fraction de jour julien, avant de l'ajuster à l'heure de Jérusalem^[17]

${\displaystyle \scriptstyle Moled_{A}=347605+{\frac {3444371}{4924800}}+A(365+{\frac {24311}{98496}})+\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})(1+{\frac {272953}{492480}})}$

2.2 Calcul du jour julien de Rosch Hachana pour l'année A

Connaissant Moled_A, on prend E_A, partie entière de Moled_A et F_A, partie fractionnaire de Moled_A.

• • • Calculer ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =\operatorname {RES} ({\frac {12A+5}{19}})}$

• • • On détermine RH_A pour l'année A en jours juliens selon les règles suivantes :

${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 1, 3 ou 5 }}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 0 et }}\alpha \geqslant 7{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {311676}{492480}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+3}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Si}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {RES} ({\frac {E_{A}}{7}})={\text{ 6 et }}\alpha \geqslant 12{\text{ et }}F_{A}\geqslant {\frac {442111}{492480}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\text{alors}}}$	${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+2}$
${\displaystyle \scriptstyle {\text{Sinon}}}$			${\displaystyle \scriptstyle RH_{A}=E_{A}+1}$

4. Calcul définitif de l'année A du calendrier hébraïque

Si RH_A > JJ, prendre A = A - 1 et recalculer RH_A

Sinon prendre A et conserver RH_A

5. Constantes intermédiaires du calcul du mois et du quantième

5.1 Calcul de la longueur L de l'année hébraïque A

On obtient la longueur L de l'année hébraïque A en calculant :

L = RH_A+1 - RH_A

5.1 Constantes intermédiaires

• • • Avec valeur de L, valoriser les constantes intermédiaires utilisées dans la suite du calcul selon la table suivante :

L	353	354	355	383	384	385
m0	4	7	3	4	8	3
d	88	177	60	88	207	60
r	5	5	5	4	5	7
Z	324	325	325	325	325	266
W	11	11	11	11	11	9

6. Calcul du mois M et du quantième Q du calendrier hébraïque

6.1 Calculer :

${\displaystyle \scriptstyle JH=JJ-RH_{A}}$

${\displaystyle \scriptstyle A_{1}=\operatorname {TRONQ} ({\frac {JH-d}{L}})}$

${\displaystyle \scriptstyle R_{2}=JH-\operatorname {TRONQ} (LA_{1}+d)}$

${\displaystyle \scriptstyle m_{1}=\operatorname {TRONQ} ({\frac {WR_{2}+W+Zm_{0}-r-1}{Z}})}$

6.2 Mois M du calendrier hébraïque

Si A₁ = 0 alors

${\displaystyle \scriptstyle M=m_{1}}$

Si A₁ = -1 alors

${\displaystyle \scriptstyle M=m_{1}-\operatorname {TRONQ} (12+{\frac {L}{360}})}$

6.3 quantième Q du calendrier hébraïque

${\displaystyle \scriptstyle Q=R_{2}-\operatorname {TRONQ} ({\frac {Zm_{1}+r-Zm_{0}}{W}})+1}$