En prenant le produit scalaire de l'équation de départ avec ${\displaystyle {\mathbf {\Omega } }}$, on obtient

${\displaystyle {\mathbf {\Omega } }\cdot {\frac {{\rm {d}}{\mathbf {N} }}{{\rm {d}}t}}={\mathbf {\Omega } }\cdot \left({\mathbf {\Omega } }\wedge {\mathbf {N} }\right)}$.

Le membre de droite est nul, car il correspond au produit mixte comprenant deux vecteurs identiques. Cela implique donc que la composante de ${\displaystyle {\mathbf {N} }}$ est constante au cours du temps. En effectuant le produit scalaire de l'équation de départ avec ${\displaystyle {\mathbf {N} }}$, on obtient cette fois

${\displaystyle {\mathbf {N} }\cdot {\frac {{\rm {d}}{\mathbf {N} }}{{\rm {d}}t}}={\mathbf {N} }\cdot \left({\mathbf {\Omega } }\wedge {\mathbf {N} }\right)}$.

Pour la même raison que précédemment, le membre de droite est nul. Le membre de gauche de l'équation représente la variation de la norme de ${\displaystyle {\mathbf {N} }}$, ce qui signifie que celle-ci est constante au cours du temps. Comme sa composante parallèle à ${\displaystyle {\mathbf {\Omega } }}$ est aussi constante, la composante orthogonale à ce vecteur est également constante.

En termes de composantes, si on choisit un système d'axes tel que ${\displaystyle {\mathbf {\Omega } }}$ soit parallèle à l'axe z, on obtient

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N_{x}}{{\rm {d}}t}}=-\Omega N_{y}}$,

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N_{y}}{{\rm {d}}t}}=\Omega N_{x}}$,

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N_{z}}{{\rm {d}}t}}=0}$.

La dernière équation donne la constance de la composante de ${\displaystyle {\mathbf {N} }}$ parallèle à ${\displaystyle {\mathbf {\Omega } }}$. Les deux autres équations se combinent en

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N_{x}+iN_{y}}{{\rm {d}}t}}=i\Omega (N_{x}+iN_{y})}$.

En posant ${\displaystyle N_{x}+iN_{y}=r\exp(i\theta )}$, on a, en notant par un point la dérivation par rapport au temps,

${\displaystyle \left({\dot {r}}+ir{\dot {\theta }}\right)\exp(i\theta )=i\Omega r\exp(i\theta )}$ ,

soit

${\displaystyle \left({\dot {r}}+ir{\dot {\theta }}\right)=i\Omega r}$.

La partie réelle de la dérivée donne la variation du module du nombre complexe ${\displaystyle N_{x}+iN_{y}}$, qui est nulle ici. La partie imaginaire de la dérivée donne, à un facteur r près, la variation de son argument. Cette variation est ici constante, ce qui montre que l'argument de ${\displaystyle N_{x}+iN_{y}}$ varie à la vitesse angulaire ${\displaystyle \Omega }$.