Dans un référentiel inertiel, deux corps ponctuels libres, donc ayant une vitesse uniforme, se heurtent en un choc élastique (pas de déperdition d'énergie en chaleur ou autre). On suppose que la masse de chaque corps est conservée au cours du choc.
Phénomènes observés suivant le référentiel choisi :
Dans le référentiel inertiel du centre d'inertie : les deux corps se rapprochent l'un de l'autre frontalement sur la même ligne droite et repartent l'un et l'autre à la même vitesse qu'avant le choc mais dans le sens opposé.
Dans le référentiel d'un des corps avant le choc : le deuxième corps s'approche du premier (qui est immobile) et, après le choc, le premier corps est animé d'un mouvement alors que le second est ralenti ou repart dans l'autre sens.
Dans un référentiel inertiel quelconque : les deux corps, l'un et l'autre à vitesse constante, se heurtent au cours de leur mouvement, changent de direction et de vitesse.

Loi générale valable dans tout référentiel inertiel : d'après la conservation de la quantité de mouvement, la vitesse du centre d'inertie du système constitué des deux masses ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ est égale à ${\displaystyle {\vec {V}}_{I}={\frac {m_{1}.{\vec {v}}_{1}+m_{2}.{\vec {v}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ et est constante et inchangée avant et après le choc, et les vitesses après le choc sont : pour la masse n°1 ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}=-{\vec {v}}_{1}+2.{\vec {V}}_{I}}$ et pour la masse n°2 ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}=-{\vec {v}}_{2}+2.{\vec {V}}_{I}}$

Un changement de référentiel de (${\displaystyle R}$) vers (${\displaystyle R_{*}}$) imposant le changement ${\displaystyle {\vec {v}}_{i*}={\vec {v}}_{i}-{\vec {V}}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}_{i*}={\vec {u}}_{i}-{\vec {V}}}$ , pour i=1;2, laisse bien inchangée la loi énoncée ci-dessus.
On constate donc que les phénomènes observés diffèrent d'un référentiel à l'autre, mais dans tous la loi vérifiée par les vitesses mesurées est la même.

Bien sûr dans le cas de masses non ponctuelles, et autres cas plus réalistes, cette loi n'est qu'une approximation.

• Dans le référentiel (${\displaystyle R_{*}}$) :

La force est ${\displaystyle {\vec {F}}=-mg{\vec {z}}}$, où ${\displaystyle {\vec {z}}}$ est le vecteur unitaire de la verticale au sol; l'équation de la dynamique est ${\displaystyle -mg{\vec {z}}=m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{*}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$, et l'équation du mouvement est ${\displaystyle {\vec {r}}_{*}(t)=-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}.{\vec {z}}+{\vec {v}}_{*}(0).t+{\vec {r}}_{*}(0)~}$

• Utilisation des transformations de Galilée pour obtenir la loi dans le référentiel (${\displaystyle R}$) :

Sachant que l'on a ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{*}+t.{\vec {V}}}$ (ce qui sous-entend que ${\displaystyle {\vec {r}}(0)={\vec {r}}_{*}(0)}$, ce qui est une petite restriction par rapport à la généralité), on obtient : ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}.{\vec {z}}+({\vec {v}}_{*}(0)+{\vec {V}}).t+{\vec {r}}(0)}$ , puis, en utilisant l'égalité ${\displaystyle {\vec {v}}(0)={\vec {v}}_{*}(0)+{\vec {V}}}$ on a bien la même loi dans le référentiel (${\displaystyle R}$) : ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}.{\vec {z}}+{\vec {v}}(0).t+{\vec {r}}(0)}$

• Bien sûr, on peut aussi utiliser les expressions de ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}_{*}}$ déduites des équations différentielles, et montrer que ${\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r}}_{*}=t.{\vec {V}}}$, ou plus directement déduire cette égalité du fait que ${\displaystyle m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{*}}{\mathrm {d} t^{2}}}=-mg.{\vec {z}}}$ : en effet, de ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{*}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ on obtient ${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{*}(t)+t.{\vec {V}}+{\vec {r}}(0)-{\vec {r}}_{*}(0)}$, ce qui est la transformation de Galilée dans toute sa généralité, et la démonstration réciproque ne pose pas de problème.

Dans le référentiel (${\displaystyle R_{*}}$) la force est schématisée par ${\displaystyle {\vec {F}}=-k({\tfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{*}}{\mathrm {d} t}}-{\vec {w}}_{*})}$, où ${\displaystyle {\vec {w}}_{*}}$ est la vitesse (constante) du référentiel par rapport au référentiel (inertiel) où l'air est immobile (et homogène, etc.) : en effet, les frottements dépendent de la vitesse du corps par rapport à l'air, et non pas de la vitesse du corps par rapport au référentiel (${\displaystyle R_{*}}$).
La loi qui en découle est ${\displaystyle {\vec {r}}_{*}(t)={\vec {a}}+{\vec {b}}.e^{-{\frac {k}{m}}.t}+{\vec {w}}_{*}.t}$ , où ${\displaystyle {\vec {a}}}$ et ${\displaystyle {\vec {b}}}$ sont des vecteurs constants déterminés par les conditions initiales du mouvement.

Cette loi est invariante par la transformation de Galilée, comme on le vérifie facilement.

Dans un fluide compressible, immobile dans le référentiel galiléen (${\displaystyle R_{*}}$), la fonction d'onde monochromatique est ${\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{*},t)=A\exp \left(i\left({\vec {k}}_{*}.{\vec {r}}_{*}-\omega _{*}.t\right)\right)}$ , avec ${\displaystyle \left|{\vec {k}}_{*}\right|={\frac {\omega _{*}}{c_{*}}}}$ où ${\displaystyle c_{*}}$ est la vitesse de propagation de l'onde.
Pour déterminer la fonction d'onde dans le référentiel (${\displaystyle R}$), on utilise la transformation de Galilée ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{*}+t.{\vec {V}}}$, et on obtient : ${\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)=A\exp \left(i\left({\vec {k}}_{*}.{\vec {r}}-\left(\omega _{*}-{\vec {k}}_{*}.{\vec {V}}\right).t\right)\right)}$.

D'où : ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {k}}_{*}}$ ; ${\displaystyle \omega =\omega _{*}-{\vec {k}}.{\vec {V}}}$ ; ${\displaystyle c=c_{*}-{\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}.{\vec {V}}}$

En physique classique, le principe de relativité ne concerne que la mécanique, donc est exclue d'application à l'électromagnétisme et à la lumière (mais s'applique à l'optique géométrique). Mais les interactions entre particules chargées et ondes électromagnétiques obligent à étudier simultanément ce principe et l'électromagnétisme.

La lumière, si elle est envisagée comme une onde (électromagnétique) se propageant dans un milieu appelé l'éther, doit avoir une fonction d'onde (monochromatique) vérifiant les propriétés vues ci-dessus : sa vitesse n'est pas la même dans tous les référentiels galiléens, ni dans toutes les directions ${\displaystyle {\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}}$.
Mais les équations de Maxwell donnent ${\displaystyle \ \epsilon _{0}.\mu _{0}.c^{2}=1}$ où ${\displaystyle \epsilon _{0}\,}$ est la permittivité diélectrique du vide et ${\displaystyle \mu _{0}\,}$ la perméabilité magnétique du vide sont des constantes caractéristiques du vide, à priori, indépendantes du référentiel utilisé. Dès lors un choix s'impose :

• Soit les équations de Maxwell ont été calculées implicitement dans un référentiel privilégié : celui où le milieu de propagation, l'éther, est immobile. Dans ce cas la lumière vérifie les propriétés des ondes vues ci-dessus.
• Soit les équations de Maxwell sont valables dans tous les référentiels galiléens et la vitesse de la lumière y est la même dans tous et dans toutes les directions. Dans ce cas, d'importantes révisions s'imposent en ce qui concerne la mathématisation du principe de relativité.

Les coordonnées et le temps dans (${\displaystyle \ R}$) étant ${\displaystyle (x;\ y;\ z;\ t)}$, et dans (${\displaystyle \ R_{*}}$) étant ${\displaystyle (x_{*};\ y_{*};\ z_{*};\ t_{*})}$, on suppose que la vitesse relative ${\displaystyle \ {\vec {V}}=(V;0;0)}$ entre les deux référentiels est dans la même direction que l'axe des ${\displaystyle \ x}$.

En posant ${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}}$ , les transformations de Lorentz sont :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\Delta x=\gamma (\Delta x_{*}+V.\Delta t_{*})\\\Delta y=\Delta y_{*}\\\Delta z=\Delta z_{*}\\\Delta t=\gamma (\Delta t_{*}+{\frac {V}{c^{2}}}.\Delta x_{*})\end{matrix}}\right.}$

En cinématique relativiste la loi de composition des vitesses est :

En écrivant ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{x};v_{y};v_{z})\,,}$ pour la vitesse mesurée dans le référentiel ${\displaystyle \ R}$, et ${\displaystyle {\vec {v}}_{*}=(v_{*x};v_{*y};v_{*z})\,,}$ pour la vitesse mesurée dans le référentiel ${\displaystyle \ R_{*}}$, on a :

${\displaystyle v_{*x}\,=\,{\frac {v_{x}+V}{1+{\frac {v_{x}V}{c^{2}}}}}\,.}$

${\displaystyle v_{*y}\,=\,{\frac {1}{\gamma }}.{\frac {v_{y}}{1+{\frac {v_{x}V}{c^{2}}}}}\,.}$

La constance de la vitesse de la lumière dans le vide d'un référentiel (inertiel, comme toujours ici) à l'autre permet de définir la même unité de mesure du temps dans tous les référentiels, quand est bien défini une unité de mesure commune des longueurs.

• Ainsi, pour être sûr que deux référentiels, en mouvement rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, utilisent la même longueur unitaire, on peut considérer une longueur perpendiculaire à la vitesse relative : la longueur de référence sera ainsi matériellement commune aux deux référentiels (comme la hauteur d'une porte coulissante tenue par deux rails vissés l'un au sol et l'autre au plafond).
• Avec ce mécanisme, qui compte comme unité de temps la moitié de l'intervalle de temps mis par la lumière pour faire l'aller-retour le long de la longueur commune, on peut considérer que l'on a simplement une montre identique dans chaque référentiel.
• Dans les dessins suivants, chaque référentiel voit pour lui le phénomène de gauche, et du premier on voit dans l'autre le phénomène de droite.

Dans le dessin de gauche, le temps mesuré est le temps propre : le temps mesuré entre deux évènements, dans le référentiel où ils ont lieu au même endroit.

Dans le dessin de droite, le temps mesuré est impropre : le temps mesuré entre deux évènements dans un référentiel où ils ont lieu en deux endroits différents.

• Dans le deuxième dessin, par le théorème de Pythagore on obtient ${\displaystyle c^{2}t^{2}\,=\,c^{2}t'^{2}+v^{2}t^{2}\,,}$ d'où : ${\displaystyle t={t' \over {\sqrt {1-{v^{2}/c^{2}}}}}>t'}$.

Ainsi le temps impropre ${\displaystyle \ t}$ est plus grand que le temps propre ${\displaystyle \ t'}$, et celui-ci est le temps minimal mesurable entre deux évènements.

• Mais il semble y avoir un paradoxe : comment peut-il se faire que le temps de (${\displaystyle R_{*}}$) paraisse ralenti vu depuis (${\displaystyle R}$), et vice-versa ?

En fait ce n'est pas n'importe quel temps qui semble ralenti, c'est le temps propre entre deux évènements. Pour savoir si le temps (impropre), séparant deux évènements situés en des endroits différents, semble ralenti ou pas vu d'un autre référentiel, il faut concevoir une autre expérience, et la réponse ne sera pas toujours positive. La propriété, vraie pour le temps propre, ne doit pas être abusivement généralisée.

Cette expérience d'écoulement du temps sur une horloge donne des mesures différentes dans le référentiel propre de l'horloge et dans un autre référentiel inertiel.
De manière similaire, la mesure d'une longueur parallèle au mouvement relatif de deux référentiels inertiels donne des résultats différents suivant que la mesure est faite dans l'un ou l'autre des référentiels.

À titre d'exemple expérimental, on peut citer des particules élémentaires (tels les muons) ayant une durée de vie très courte quand elles sont immobiles (après 10^-6 seconde environ, elles se désintègrent en d'autres particules moins détectables), mais ayant une durée de vie 10 fois plus longue quand elles sont observées à des vitesses proches de celle de la lumière.

La mesure d'une longueur donne des résultats différents suivant le référentiel où elle est faite.

Les transformations de Lorentz permettent de le montrer :

En supposant que les axes des référentiels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ sont parallèles et que la vitesse relative est parallèle à l'axe des x, on a

${\displaystyle \,~\left\{{\begin{matrix}c\Delta t'=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\\\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-\beta c\Delta t\right)\\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{matrix}}\right.\,}$

Donc, si les extrémités de l'objet sont simultanées dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle \Delta t=0\,,}$ et dans le référentiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle \Delta x\,,\Delta y\,,\Delta z\,,}$ sont les différentes longueurs de l'objet dans les trois dimensions. Alors ${\displaystyle \Delta x'=\gamma .\Delta x\,,}$ et ainsi ${\displaystyle \Delta x=1/\gamma .\Delta x'\,<\Delta x'\,,}$ ce qui montre que la longueur mesurée dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est inférieure à celle mesurée dans ${\displaystyle \mathbb {R} '}$.

Ce n'est pas un paradoxe car du fait de la relativité de la simultanéité, la mesure faite dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ne semble pas correctement faite quand elle est observée depuis ${\displaystyle \mathbb {R} '}$.

Supposons qu'il y ait deux observateurs des évènements, chacun immobile dans son repère inertiel. Chacun connait parfaitement la distance qui le sépare de chaque point immobile dans le référentiel, donc quand il reçoit une information venant de l'un d'eux, il connait le temps nécessaire à la transmission de l'information (que l'on suppose aller à la vitesse de la lumière) et il peut ainsi déterminer exactement à quel moment s'est passé cet évènement.
Si deux évènements distants se passent simultanément dans le référentiel d'un observateur, dans le référentiel de l'autre, ils ne seront pas simultanés.

En effet, d'après les transformations de Lorentz :

${\displaystyle \,~\left\{{\begin{matrix}c\Delta t'=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\\\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-\beta c\Delta t\right)\\\Delta y'=\Delta y\\\Delta z'=\Delta z\end{matrix}}\right.\,}$

D'où, si ${\displaystyle \Delta t=0\,,}$ alors ${\displaystyle c\Delta t'=-\gamma \beta \Delta x\neq 0\,:}$ il n'y a donc pas simultanéité dans l'autre référentiel. On peut dire que la simultanéité est relative au référentiel de l'observateur.

En mécanique non relativiste, le temps et les longueurs sont des invariants par changement de référentiels inertiels (et même non inertiels); ce n'est plus le cas en relativité restreinte. Toutefois, une « mesure », mêlant longueur spatiale et temps, est invariante par changement de référentiel : elle est nommée métrique, et elle donne à l'espace-temps une notion de distance entre deux évènements.
Cet invariant est ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\right)=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,}$ , où ${\displaystyle \Delta t\,}$ et ${\displaystyle \Delta l\,}$ sont respectivement les écarts temporel et spatial entre deux évènements, mesurés dans un référentiel quelconque et ${\displaystyle \Delta \tau \,}$ est le temps propre séparant les deux évènements.

Dans le cas où les deux évènements peuvent être liés par un lien causal, on a ${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta \tau ^{2}\,~,}$ où ${\displaystyle \Delta \tau }$ est le temps propre les séparant. On justifie facilement avec la formule liant le temps propre et le temps impropre, démontrée dans le paragraphe concernant la relativité du temps, que cette expression de ${\displaystyle \,\Delta s^{2}\,}$ a la même valeur quel que soit le référentiel où les mesures ont été faites : il suffit de changer de notation et d'écrire ${\displaystyle \Delta \tau \,}$ à la place de ${\displaystyle \ t'\,}$ , puis ${\displaystyle \,\Delta t\,}$ à la place de ${\displaystyle \,t\,}$ et enfin de définir ${\displaystyle \Delta l\,}$ par ${\displaystyle \,v.t\,}$, car c'est la distance qui sépare les deux évènements dans le référentiel inertiel non propre (et quelconque).

Cet invariant ${\displaystyle \,\Delta s^{2}\,}$ défini ici est parfois défini par ${\displaystyle \,\Delta s^{2}=-\,c^{2}\Delta \tau ^{2}\,=-\,c^{2}\Delta t^{2}+\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$ , c'est-à-dire avec les signes opposés à ceux présentés ici : la signature est ici (+,-,-,-), et on lui préfère parfois la signature (-,+,+,+), et dans ce cas ${\displaystyle \,\Delta s^{2}=-\,c^{2}\Delta \tau ^{2}\,}$.

Ainsi, dans un référentiel, deux évènements sont éloignés d'une distance ${\displaystyle \Delta l\,}$ et séparés d'un temps ${\displaystyle \,\Delta t\,}$ : ces mesures sont différentes d'un référentiel à l'autre, mais pour tous les référentiels l'égalité ${\displaystyle \,c^{2}\Delta \tau ^{2}\,=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}\,}$ est vérifiée.

On montre par le calcul que cette métrique est bien invariante par l'application des transformées de Lorentz, et que les transformations affines laissant invariante la métrique forment le groupe de Poincaré, incluant les transformations de Lorentz.

« Enfermez-vous avec un ami dans la plus grande cabine sous le pont d'un grand navire et prenez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petites bêtes qui volent ; munissez-vous aussi d'un grand récipient rempli d'eau avec de petits poissons ; accrochez aussi un petit seau dont l'eau coule goutte à goutte dans un autre vase à petite ouverture placé en dessous. Quand le navire est immobile, observez soigneusement comme les petites bêtes qui volent vont à la même vitesse dans toutes les directions de la cabine, on voit les poissons nager indifféremment de tous les côtés, les gouttes qui tombent entrent toutes dans le vase placé dessous ; si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de jeter plus fort dans une direction que dans une autre lorsque les distances sont égales ; si vous sautez à pieds joints, comme on dit, vous franchirez des espaces égaux dans toutes les directions. Quand vous aurez soigneusement observé cela, bien qu'il ne fasse aucun doute que les choses doivent se passer ainsi quand le navire est immobile, faites aller le navire à la vitesse que vous voulez ; pourvu que le mouvement soit uniforme, sans balancement dans un sens ou l'autre, vous ne remarquerez pas le moindre changement dans tous les effets qu'on vient d'indiquer ; aucun ne vous permettra de vous rendre compte si le navire est en marche ou immobile : en sautant, vous franchirez sur le plancher les mêmes distances qu'auparavant, et ce n'est pas parce que le navire ira très vite que vous ferez de plus grands sauts vers la poupe que vers la proue ; pourtant, pendant le temps où vous êtes en l'air, le plancher au-dessous de vous court dans la direction opposée à votre saut ; si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'aurez pas besoin de plus de force pour qu'il le reçoive, qu'il se trouve du côté de la proue ou de la poupe, et pourtant, pendant que la gouttelette est en l'air, le navire avance de plusieurs palmes ; les poissons dans leur eau ne se fatigueront pas plus pour nager vers l'avant que vers l'arrière de leur récipient, c'est avec la même facilité qu'ils iront vers la nourriture que vous aurez disposée où vous voudrez au bord du récipient ; enfin, les papillons et les mouches continueront à voler indifféremment dans toutes les directions, jamais vous ne les verrez se réfugier vers la paroi du côté de la poupe comme s'ils étaient fatigués de suivre la course rapide du navire dont ils auront été longtemps séparés, puisqu'ils restent en l'air ; brûlez un grain d'encens, il se fera un peu de fumée que vous verrez monter vers le haut et y demeurer, tel un petit nuage, sans qu'elle aille d'un côté plutôt que d'un autre. »

— Galilée ^[6]

« Pour réfuter l'idée de ceux qui prennent l'Espace pour une substance, ou du moins pour quelque être absolu, j'ai plusieurs démonstrations, mais je ne veux me servir à présent que de celle dont on me fournit ici l'occasion.

Je dis donc que si l'Espace était un être absolu, il arriverait quelque chose dont il serait impossible qu'il y eut une raison suffisante, ce qui est contre notre Axiome. Voici comment je le prouve.

L'Espace est quelque chose d'absolument uniforme, et en l'absence des choses y placées, un point de l'Espace ne diffère absolument en rien d'un autre point de l'Espace.

Or, il suit de cela, à supposer que l'espace soit quelque chose en lui-même indépendamment de l'ordre des corps entre eux, qu'il est impossible qu'il existe une raison pour laquelle Dieu, gardant les mêmes situations des corps entre eux, a placé ainsi les corps dans l'espace et non autrement; et pour laquelle tout n'a pas été mis à rebours (par exemple) par échange de la droite et de la gauche.

Mais si l'Espace n'est autre chose que cet ordre ou rapport, et n'est rien du tout sans les corps, si ce n'est la possibilité d'en mettre; ces deux états, l'un tel qu'il est, l'autre supposé à rebours, ne diffèreraient aucunement entre eux. Leur différence ne se trouve que dans notre supposition chimérique : la réalité de l'espace en lui-même.

Mais dans la réalité, l'un sera en tout point la même chose que l'autre, puisqu'ils sont absolument indiscernables. Et par conséquent il n'y a pas lieu de demander la raison de la préférence de l'un à l'autre. »