Représentation habituelle de deux référentiels inertiels

Soient deux référentiels ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient ${\displaystyle (x,t)\quad }$ les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, et ${\displaystyle (x',t')\quad }$ ses coordonnées dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}'\quad }$. (Pour simplifier les notations, on ne tiendra pas compte dans ce paragraphe des deux autres composantes spatiales y et z).

• Utilisation du principe de relativité :

Par le principe de relativité, les coefficients de la transformation linéaire ne dépendent que de la vitesse relative entre les référentiels, et d'aucune considération extérieure à ces deux référentiels. Pour plus de précision, on devrait dire des vitesses relatives des référentiels, le sujet est abordé un peu plus loin.

• Première utilisation de la vitesse de la lumière :

Si dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ on considère le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x positifs, donc à la vitesse de la lumière, alors ${\displaystyle \ x=ct}$. Mais comme cette vitesse est la même dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, en considérant le déplacement de ce même signal vu depuis ce référentiel, comme l'axe des x' a la même orientation que celui des x, et de même pour les axes temporels, on doit avoir ${\displaystyle \ x'=ct'}$^[21]. De même, en commençant par considérer le signal depuis ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$.

Donc : ${\displaystyle x-ct=0\Longleftrightarrow x'-ct'=0}$

Et comme x, t, x', t' sont liés par des relations linéaires à coefficients constants, on doit avoir ${\displaystyle \ x'=a.x+b.ct}$ et ${\displaystyle \ ct'=a'.x+b'.ct}$ (avec a, b, a' et b' coeff constants), d'où ${\displaystyle \ x'-ct'=\lambda _{1}.x-\lambda _{2}.ct}$, or comme ${\displaystyle x-ct=0\Longleftrightarrow x'-ct'=0\ }$, on en déduit ${\displaystyle \ \lambda _{1}=\lambda _{2}}$, d'où ${\displaystyle \ x'-ct'=\lambda .(x-ct)}$ pour un certain ${\displaystyle \lambda }$ constant.

• Deuxième utilisation de la vitesse de la lumière :

En considérant le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x négatifs, et en faisant le même raisonnement, on obtient : ${\displaystyle \ x'+ct'=\mu .(x+ct)}$ pour un certain ${\displaystyle \mu }$ constant.

• Conclusion sur la vitesse de la lumière :

En additionnant et soustrayant les deux égalités précédentes, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'=a.x-b.ct\\ct'=a.ct-bx\end{matrix}}\right.\quad (2)}$

avec : ${\displaystyle a=(\lambda +\mu )/2\quad }$ et ${\displaystyle \ b=(\lambda -\mu )/2}$.

• Première utilisation de la vitesse relative des référentiels :

Pour l'origine du référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, on a ${\displaystyle x'=0}$ et donc, d'après la première équation du système (2), on a :

${\displaystyle x={\frac {b}{a}}.ct}$

En désignant par ${\displaystyle \ v}$ la vitesse du référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ par rapport au référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, on peut donc écrire

${\displaystyle v={\frac {x}{t}}={\frac {b}{a}}.c}$, ou ${\displaystyle \ v=\beta .c}$, avec ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}={\frac {b}{a}}}$

On peut donc écrire :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'=a.(x-\beta .ct)\\ct'=a.(ct-\beta .x)\end{matrix}}\right.\quad (3)}$

• Deuxième utilisation de la vitesse relative des référentiels :

Pour l'origine du référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, on a ${\displaystyle x=0}$ et donc, d'après les équations du système (2), on a :

${\displaystyle x'=-{\frac {b}{a}}.ct'}$

En désignant par ${\displaystyle \ v'}$ la vitesse du référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ par rapport au référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, on peut donc écrire

${\displaystyle v'={\frac {x'}{t'}}=-{\frac {b}{a}}.c=-v}$.

• Utilisation des hypothèses sur l'espace :

Quand ${\displaystyle t=0}$, on a ${\displaystyle \ x'=a.x}$. Le coefficient ${\displaystyle a}$ permet donc de convertir la mesure d'une longueur faite dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, en la mesure faite dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$. Ce coefficient peut dépendre de la vitesse relative ${\displaystyle \ v}$ entre les référentiels, mais pas de sa direction ni de son sens par l'hypothèse de l'isotropie de l'espace. De plus, comme expliqué en début de paragraphe, ${\displaystyle a}$ est indépendant des coordonnées x, t, x', t'.

Donc ${\displaystyle a}$ dépend de la norme de la vitesse ${\displaystyle \ v}$, c'est-à-dire de ${\displaystyle \ v^{2}}$.

• Utilisation du principe de relativité :

En inversant les rôles des référentiels ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, et ayant justifié que ${\displaystyle v'=-v}$, et que ${\displaystyle \ a}$ ne dépend pas de la direction ni du sens de ${\displaystyle \ v}$, donc ${\displaystyle \ a(v^{2})=a((-v)^{2})}$, et on peut écrire :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=a.(x'+\beta .ct')\\ct=a.(ct'+\beta .x')\end{matrix}}\right.\quad (4)}$

En utilisant les deux équations du système (3) dans la première équation du système (4), on obtient ${\displaystyle x=a^{2}.\left(1-\beta ^{2}\right)x\,,}$ soit :

${\displaystyle a={\frac {\pm 1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Le signe + est choisi, sinon il y a changement dans l'orientation entre l'axe des x et l'axe des x', ce qui n'est pas le cas par hypothèse.

• Conclusion :

Les transformations de Lorentz s'écrivent :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.(x-\beta .ct)\\ct'={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.(ct-\beta .x)\end{matrix}}\right.}$

Ce que l'on écrit souvent :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'=\gamma .(x-\beta .ct)\\ct'=\gamma .(ct-\beta .x)\end{matrix}}\right.}$

Avec ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ et ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$.

Dans ce paragraphe^[22], les coordonnées ${\displaystyle \ (ct,x,y,z)=(ct,{\vec {r}})}$ sont celles du référentiel inertiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ et ${\displaystyle \ (ct',x',y',z')=(ct',{\vec {r}}~')}$ sont celles du référentiel inertiel ${\displaystyle {\mathcal {R'}}}$, ces deux référentiels ayant les mêmes origines spatiales et temporelles.

Dans l'espace-temps de Minkowski, la pseudo-norme est définie par le carré de l'intervalle d'espace-temps : ${\displaystyle \ ds^{2}=\eta _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=dx_{\alpha }dx^{\alpha }=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$

Les transformations de Lorentz sont les applications linéaires sur les quadri-coordonnées ${\displaystyle \ (ct,x,y,z)\longmapsto (ct',x',y',z')}$ qui laissent invariante la pseudo-norme : ${\displaystyle \ (c.dt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=(c.dt')^{2}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}}$

Cas où la transformation ne concerne que les coordonnées spatiales

Dans ce cas, l'invariance de la pseudo-norme implique ${\displaystyle \ dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}$, c'est-à-dire que la transformation conserve la norme spatiale : la matrice 3x3 associée est une matrice orthogonale.

• Si son déterminant est positif, il s'agit d'une rotation dans l'espace et elle conserve donc l'orientation de l'espace. La transformation de l'espace-temps laisse le temps inchangé et agit comme une rotation d'un angle constant sur les vecteurs de l'espace, elle est considérée comme physiquement réaliste.
• Si son déterminant est négatif intervient en plus une symétrie planaire qui inverse l'orientation de l'espace. La transformation, laissant le temps inchangé mais inversant l'orientation spatiale, n'est pas considérée comme physiquement réaliste, mais peut être utilisée pour explorer les propriétés mathématiques des équations.

Cas où la transformation concerne aussi la coordonnée temporelle

Pour plus de légèreté dans les notations, on remplace ${\displaystyle \ dt}$ par ${\displaystyle \ t}$ , ${\displaystyle \ dx}$ par ${\displaystyle \ x}$, etc.

• La linéarité d'une telle transformation permet d'écrire :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ct'=a.ct+{}^{T}\!{\vec {v}}.{\vec {r}}\\{\vec {r}}~'={\vec {w}}.ct+A.{\vec {r}}\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle \ a}$ est un réel constant, ${\displaystyle \ A}$ est une matrice 3x3 à coefficients constants, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et ${\displaystyle {\vec {w}}}$ sont deux vecteurs constants de l'espace, avec ${\displaystyle {}^{T}\!{\vec {v}}=}$ le transposé de ${\displaystyle {\vec {v}}}$, et ${\displaystyle {}^{T}\!{\vec {v}}.{\vec {r}}=}$ le produit scalaire des vecteurs ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}}$.

Par une transformation de Lorentz ne touchant que les coordonnées spatiales, on peut faire en sorte que les vecteurs ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et ${\displaystyle {\vec {w}}}$ soient colinéaires : on a donc ${\displaystyle {\vec {v}}=b.{\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {w}}=d.{\vec {u}}}$ où ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est un vecteur unitaire (${\displaystyle \|{\vec {u}}\|=1}$) constant lui aussi, et ${\displaystyle \ b}$ et ${\displaystyle \ d}$ deux réels constants (éventuellement nuls).

On peut donc écrire

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ct'=a.ct+b.{}^{T}\!{\vec {u}}.{\vec {r}}\\{\vec {r}}~'=d.{\vec {u}}.ct+A.{\vec {r}}\end{matrix}}\right.}$

• La pseudo-norme étant une forme quadratique, son invariance par une transformation est équivalente à l'invariance de la forme bilinéaire ${\displaystyle \ B}$ associée : ${\displaystyle B\left((\tau _{1},{\vec {r}}_{1}),(\tau _{2},{\vec {r}}_{2})\right)=\tau _{1}.\tau _{2}-{}^{T}\!{\vec {r}}_{1}.{\vec {r}}_{2}}$

Or on a ${\displaystyle B\left((ct,{\vec {0}}),(0,{\vec {r}})\right)=0}$, donc ${\displaystyle B\left((ct',\left({\vec {0}}\right)'),((0)',{\vec {r}}~')\right)=0}$, soit ${\displaystyle B\left((a.ct,d.ct.{\vec {u}}),(b.{}^{T}\!{\vec {u}}.{\vec {r}},A{\vec {r}})\right)=...=ct.\left(ab.{}^{T}\!{\vec {u}}-d.{}^{T}\!{\vec {u}}.A\right).{\vec {r}}=0}$

Cette égalité étant vraie pour tout ${\displaystyle \ t\in \mathbb {R} }$ et tout vecteur de l'espace ${\displaystyle {\vec {r}}}$, on a ${\displaystyle ab.{}^{T}\!{\vec {u}}=d.{}^{T}\!{\vec {u}}.A}$. Si ${\displaystyle {}^{T}\!{\vec {u}}.A={}^{T}\!{\vec {0}}}$, alors la matrice ${\displaystyle \ A}$ n'est pas inversible (car ${\displaystyle \ {}^{T}\!A}$ admet 0 comme valeur propre car ${\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}}$) et la transformation de Lorentz associée n'est pas un changement de base de l'espace à quatre dimensions : ce qui ne correspond pas aux hypothèses. Si ${\displaystyle \ d=0}$, alors ${\displaystyle \ a=0}$ ou ${\displaystyle \ b=0}$ et un court travail montre que l'on retombe alors dans le cas où la transformation ne concerne que les vecteurs de l'espace.

Donc ${\displaystyle \ a\neq 0}$, ${\displaystyle \ b\neq 0}$, ${\displaystyle \ d\neq 0}$, et ${\displaystyle {}^{T}\!{\vec {u}}.A=\alpha .{}^{T}\!{\vec {u}}}$, avec ${\displaystyle \alpha ={{ab} \over d}}$.

• On pose ${\displaystyle \ r_{||}={}^{T}\!{\vec {u}}.{\vec {r}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}~_{||}=r_{||}.{\vec {u}}}$, on a ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}~_{||}+{\vec {r}}_{\perp }}$, avec ${\displaystyle {\vec {r}}_{\perp }\perp {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle r^{2}=\left(r~_{||}\right)^{2}+\left(r_{\perp }\right)^{2}}$.

• L'invariance par la transformation de Lorentz signifie que ${\displaystyle \ (ct)^{2}-r^{2}=(ct')^{2}-(r')^{2}}$. En développant et en utilisant ${\displaystyle {}^{T}\!{\vec {u}}.A=\alpha .{}^{T}\!{\vec {u}}}$, avec ${\displaystyle \alpha ={{ab} \over d}}$, on obtient ${\displaystyle \ (ct)^{2}-r^{2}=(a^{2}-d^{2}).(ct)^{2}+b^{2}.\left(r_{||}\right)^{2}-\left(A.{\vec {r}}\right)^{2}}$.

Cette égalité étant vraie pour tout ${\displaystyle \ t\in \mathbb {R} }$ et tout vecteur de l'espace ${\displaystyle {\vec {r}}}$, on a :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}-d^{2}=1\\r^{2}=\left(A.{\vec {r}}\right)^{2}-b^{2}.\left(r_{||}\right)^{2}\end{cases}}}$

En exploitant le cas particulier ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {u}}}$ , on obtient ${\displaystyle \ b=\pm d}$.

En exploitant le cas particulier ${\displaystyle {\vec {r}}\perp {\vec {u}}}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle \ r_{||}=0}$), on obtient ${\displaystyle \left(A.{\vec {r}}_{\perp }\right)^{2}=\left({\vec {r}}_{\perp }\right)^{2}}$, et l'endomorphisme de matrice ${\displaystyle \ A}$ est une isométrie de l'espace de dimension 2 des vecteurs perpendiculaires à ${\displaystyle {\vec {u}}}$ dans lui-même^[23].

Donc, en posant ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ = restriction de ${\displaystyle \ A}$ au plan des vecteurs perpendiculaires à ${\displaystyle {\vec {u}}}$, et ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$, on a :

${\displaystyle {\begin{cases}ct'=a.ct+b.r_{||}\\{\vec {r}}~'=\epsilon .b.{\vec {u}}.ct+\epsilon .a.r_{||}.{\vec {u}}+{\tilde {A}}.{\vec {r}}_{\perp }=\left(\epsilon .b.ct+\epsilon .a.r_{||}\right).{\vec {u}}+{\tilde {A}}.{\vec {r}}_{\perp }\end{cases}}}$

Avec ${\displaystyle \ a^{2}-b^{2}=1}$

En utilisant à nouveau une transformation de Lorentz ne concernant que les coordonnées spatiales, et même plus précisément le sous-espace des vecteurs perpendiculaires à ${\displaystyle {\vec {u}}}$, on peut se ramener au cas ${\displaystyle {\tilde {A}}=Id_{2\times 2}}$, et on a alors :

${\displaystyle {\begin{cases}ct'=a.ct+b.r_{||}\\{\vec {r}}~'=\left(\epsilon .b.ct+\epsilon .a.r_{||}\right).{\vec {u}}+{\vec {r}}_{\perp }\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}ct'=a.ct+b.r_{||}\\r'_{||}=\epsilon .b.ct+\epsilon .a.r_{||}\\{\vec {r}}~'_{\perp }={\vec {r}}_{\perp }\end{cases}}}$

Avec ${\displaystyle \ a^{2}-b^{2}=1}$

• En choisissant la direction du vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ comme axe des ${\displaystyle \ x}$, en utilisant les fonctions hyperboliques, et avec ${\displaystyle \epsilon _{i}=\pm 1}$ permettant de discuter de la conservation ou non des orientations du temps et de l'espace, on obtient :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\cosh(\phi )&-\epsilon _{1}\sinh(\phi )&0&0\\-\epsilon _{2}\sinh(\phi )&\epsilon _{2}\cosh(\phi )&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ .}$