Les solitons hydrodynamiques

Soliton hydrodynamique.

Le phénomène associé a été observé pour la première fois en 1834 par l'Écossais John Scott Russell qui l'a observé initialement en se promenant le long d'un canal : il a suivi pendant plusieurs kilomètres une vague remontant le courant qui ne semblait pas vouloir faiblir^[1]. Des observations complémentaires sont présentées en 1862 par Henry Bazin à l'Académie des Sciences à la suite d'expériences menées dans un bief du canal de Bourgogne à Dijon ^[2]. Il a été modélisé par Joseph Boussinesq^[3] en 1872. Ainsi sur l'eau, il est apparenté au mascaret. Il apparaît par exemple dans la Seine ou sur la Dordogne, en Gironde, à certains endroits et à certains moments. D'autres solitons apparaissent comme des ondes internes (en), initiées par la topographie du fond marin, et qui se propagent dans la pycnocline océanique.

Ce mode de propagation d'une vague sur de longues distances explique aussi la propagation des raz-de-marée (ou tsunami). Ceux-ci se déplacent presque sans effet notable en eaux profondes. Le transport par soliton explique que les tsunamis, insensibles pour les navires en mer, puissent naître d'un séisme sur une côte de l'océan Pacifique et avoir des effets sur la côte opposée.

Les solitons optiques

Évolution spatio-temporelle d'un soliton optique fondamental qui se propage sans se déformer.

L'utilisation de solitons a été proposée pour améliorer la performance des transmissions dans les réseaux optiques de télécommunications en 1973 par Akira Hasegawa du laboratoire Bell d'AT&T^[4]. En 1988, Linn Mollenauer et son équipe transmettent des solitons sur plus de 4 000 km en utilisant la diffusion Raman, du nom du prix Nobel de physique indien qui a décrit cet effet de diffusion inélastique. En 1991, toujours aux Bell Labs, une équipe transmet des solitons sur plus de 14 000 km en utilisant des amplificateurs à erbium.

En 1998, Thierry Georges et son équipe du centre de recherche et développement de France Télécom combinent des solitons de longueurs d'onde différentes (multiplexage en longueur d'onde) pour réaliser une transmission à un débit supérieur à 1 térabit par seconde (10¹² bits par seconde). En 2001, les solitons trouvent une application pratique avec le premier équipement de télécommunications transportant du trafic réel sur un réseau commercial.

Les solitons mécaniques

L’une des illustrations expérimentales des solitons les plus adoptées dans la littérature est probablement celle d’une chaîne de pendules couplés^[5],[6]. Ce montage mécanique permet une observation directe des solitons, une compréhension des principales propriétés de ces derniers et des caractéristiques qu’un système doit posséder pour permettre leur existence^[7].

Les solitons électriques

La manière la plus simple de réaliser un soliton électrique consiste à construire un dipôle retardateur capable de reproduire sans déformation une impulsion déterminée à une distance donnée δ, avec un décalage de temps τ. En faisant précéder ce dipôle par une série de dipôles identiques adaptés au premier, on peut reconstituer une ligne discrète le long de laquelle l’impulsion se propage avec la vitesse c = δ/τ. En limite, avec des paramètres δ et τ infinitésimaux, on accède à une ligne continue.

Un exemple est donné (Bulletin de l’Union des Physiciens, juillet-août-septembre 2018, N° 1006, p.959-968 / Propagation d’un soliton dans une ligne électrique en échelle) avec un signal en forme de sécante hyperbolique carrée.

Pour introduire les solitons électriques, on peut procéder en trois étapes : d'abord on commence par une propagation électromagnétique linéaire et non dispersive, puis on passe à une propagation linéaire mais dispersive, et à la fin on traite le cas des solitons, c'est‑à‑dire la propagation non linéaire et dispersive.

Les solitons dans d'autres domaines physiques

En 2004, N. Sugimoto de l'université d'Ōsaka a trouvé le moyen d'introduire de la dispersion lors de la propagation d'ondes acoustiques et, par là même, de créer les premiers solitons acoustiques. Une utilisation potentielle de ce phénomène est la réduction des ondes de choc à l'entrée de trains dans les tunnels.

En 2006, Michael Manley observe, grâce à des expériences de diffusion par des rayons X et des neutrons, des solitons au sein de cristaux d'uranium portés à une température élevée.

Vague en faible profondeur : l'équation de Korteweg-de Vries

En mathématiques, l'équation de Korteweg-de Vries^[6] (KdV en abrégé) est un modèle mathématique pour les vagues en faible profondeur. C'est un exemple très connu d'équation aux dérivées partielles non linéaire dont on connait exactement les solutions. Ces solutions comprennent, mais ne se limitent pas à des solitons. Ces solutions peuvent se calculer par la transformation de diffusion inverse (même principe que la résolution de l'équation de la chaleur).

On considère un fluide incompressible et non visqueux lors d'un écoulement irrotationnel^[5]. On note ${\displaystyle h}$ la profondeur, ${\displaystyle \eta }$ la hauteur de la surface et ${\displaystyle c_{0}={\sqrt {gh}}}$ la vitesse des ondes linéaires.

À partir des équations d'Euler, on obtient l'équation :

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {3}{2h}}\eta {\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {h^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}\eta }{\partial x^{3}}}=0}$

On se place dans un repère mobile en posant ${\displaystyle X=x-c_{0}t}$ et ${\displaystyle T=t}$ pour éliminer le second terme de l'équation :

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}}}{\frac {\partial \eta }{\partial T}}+{\frac {3}{2h}}\eta {\frac {\partial \eta }{\partial X}}+{\frac {h^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}\eta }{\partial X^{3}}}=0}$

On obtient alors l'équation de Korteweg-de Vries en posant des variables adimensionnées (${\displaystyle \phi =\eta /h}$, ${\displaystyle \xi =X/X_{0}}$ et ${\displaystyle \tau =T/T_{0}}$) :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}+6\phi {\frac {\partial \phi }{\partial \xi }}+{\frac {\partial ^{3}\phi }{\partial \xi ^{3}}}=0}$

On cherche alors les solutions localisées spatialement se propageant à vitesse ${\displaystyle v}$ constante. On pose donc ${\displaystyle z=\xi -v\tau }$ pour obtenir :

${\displaystyle -v{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+6\phi {\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial ^{3}\phi }{\partial z^{3}}}=0}$

En intégrant par rapport à ${\displaystyle z}$ on obtient (en prenant la constante d'intégration nulle car on cherche des solutions localisées spatialement) :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+3\phi ^{2}-v\phi =0}$

D'où en intégrant encore par rapport à ${\displaystyle z}$ (et en considérant encore la constante d'intégration nulle) :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)^{2}+\phi ^{3}-{\frac {1}{2}}v\phi ^{2}=0}$

Finalement, en effectuant le changement de variable ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}v\,\mathrm {sech} ^{2}(u)}$ (où ${\displaystyle \mathrm {sech} (x)={\frac {1}{\mathrm {ch} (x)}}}$ est la sécante hyperbolique) pour intégrer ${\displaystyle dz={\frac {d\phi }{\sqrt {v\phi ^{2}-2\phi ^{3}}}}}$, on obtient :

${\displaystyle \phi (z)={\frac {v}{2}}\,\mathrm {sech} ^{2}{\sqrt {\frac {v}{4}}}z}$

En revenant aux notations précédentes, on obtient :

${\displaystyle \eta =\eta _{0}\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {1}{2h}}{\sqrt {\frac {3\eta _{0}}{h}}}\left(x-c_{0}\left[1+{\frac {\eta _{0}}{2h}}\right]t\right)\right]}$

La vitesse est linéaire par rapport à l'amplitude :

${\displaystyle c=c_{0}\left(1+{\frac {\eta _{0}}{2h}}\right)}$

L'équation de sine-Gordon

Application aux solitons, permettant de décrire à partir de la mécanique lagrangienne une chaîne de pendules infinis par exemple. Elle s'écrit :

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\beta \hbar ^{2}}}\sin \beta \psi =0}$

Son nom vient de ce qu'elle se réduit à l'équation de Klein-Gordon décrivant les particules de spin 0 dans la limite ${\displaystyle \beta \to 0}$. Elle possède des solitons et des breathers (états liés de solitons et d'antisolitons). On peut construire les solutions à plusieurs solitons au moyen de la transformation de Bäcklund.

L'équation de Schrödinger non linéaire

Le soliton est solution de l'équation de Schrödinger non linéaire, qui s'écrit par exemple dans le cas de la propagation d'un signal lumineux dans une fibre sous la forme :

${\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =0}$

avec ${\displaystyle \beta _{2}}$ la dispersion d'ordre 2 (supposée anormale, soit ${\displaystyle \beta _{2}<0}$) et ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de non-linéarité Kerr de la fibre optique. ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle t}$ représentent respectivement la distance de propagation et la variable temporelle dans un repère se propageant à la vitesse de groupe.

Articles connexes

• Soliton optique
• Soliton de Peregrine
• Morning glory cloud
• Vague scélérate
• Équation de Schrödinger avec non linéarité logarithmique

Liens externes

• (fr) Site sur le soliton
• Vincent Duchêne, « Les solitons hydrodynamiques », sur Centre de Mathématiques Henri Lebesgue, 2015