Suite arithmétique

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

La suite des nombres impairs
est arithmétique de raison 2.

En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (le plus souvent une suite de réels) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.

Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice $n$ :

u_{n+1}=u_{n}+r

Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire. Elle décrit bien les phénomènes dont la variation est constante au cours du temps, comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples.

Les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée.

Terme général

Si (E, +) est un groupe — ou même seulement un ensemble muni d'une loi associative — et si $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite arithmétique de E de raison r alors, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n}=u_{0}+nr.

Plus généralement, si la suite n'est définie qu'à partir de l'indice $n ₀$ et si n ≥ p ≥ $n ₀$ alors : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r.$

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u n ₀$ et de sa raison r.

Réciproquement, une suite définie à partir de l'indice $n ₀$ par $u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})r$ est arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est donc l'aspect discret de la fonction affine.

Sens de variation et convergence

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs réelles et utilise le fait que les réels forment un corps archimédien.

Si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite :

si la raison est positive (r > 0), la limite est $+\infty$ ;
si la raison est négative (r < 0), la limite est $-\infty$ ;
si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.

Somme des termes

Si E = ℝ ou ℂ et si $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite arithmétique de E alors, toute somme de termes consécutifs est égale au nombre de ces termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes.

Par exemple :

u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}=(n+1){u_{0}+u_{n} \over 2}=(n+1){2u_{0}+nr \over 2}=(n+1)u_{0}+{n(n+1)r \over 2}

Le cas particulier $u ₀$ = 0 et r = 1 est la formule donnant la somme des entiers de 1 à n, dont diverses preuves sont présentées dans les deux articles détaillés. Il permet de montrer le cas général :

u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{n}=(n-p+1){u_{p}+u_{n} \over 2}=(n-p+1){2u_{p}+(n-p)r \over 2}.

Démonstration

Posons $q = n - p$ . Alors, ${\begin{aligned}u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{n}&=u_{p}+(u_{p}+r)+\cdots +(u_{p}+rq)\\&=(q+1)u_{p}+r(1+\cdots +q)\\&=(q+1)u_{p}+r{\frac {q(q+1)}{2}}\\&=(q+1){\frac {2u_{p}+rq}{2}}\\&=(q+1){u_{p}+u_{n} \over 2}\\&={\text{Nombre de termes}}\times {{\text{premier terme}}+{\text{dernier terme}} \over 2}.\end{aligned}}$

Cette formule se généralise à toute suite à valeurs dans un espace vectoriel sur un corps commutatif de caractéristique différente de $2$ .

Suites arithmétiques remarquables

Ensemble des entiers naturels

L'ensemble ℕ des nombres entiers naturels est une suite arithmétique infinie, de raison 1.