Convergence

Dire que la série numérique ${\displaystyle \sum x_{n}}$ est convergente signifie, par définition, que la suite des sommes partielles ${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est convergente ; sa limite S est alors appelée somme de la série, elle est notée ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }x_{k}}$, et son calcul est la sommation de la série.  Dans le cas contraire, la série est dite divergente.

Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

On parle de série absolument convergente lorsque la série de terme général |x_k| est elle-même convergente (|x| signifiant ici « valeur absolue de x » si x est un nombre réel, « module de x » si x est un nombre complexe, norme s'il s'agit d'un élément d'un espace vectoriel normé). Si la série est convergente sans être absolument convergente, alors on parle de série semi-convergente.

Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.

Si la série converge, alors son terme général tend vers zéro. La réciproque est fausse (exemple de la série harmonique, qui diverge alors que son terme général tend vers zéro). Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle diverge grossièrement.

Exemple de série

La série de terme général (1/2)ⁿ est convergente et sa somme vaut : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 2.

Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de deviner que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.

Cette série est une série géométrique ; on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n qui vaut :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}}=2-(1/2)^{n}}$.

La suite géométrique ${\displaystyle \left(\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ de raison 1/2 est convergente et de limite nulle donc

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}=\sum _{n=0}^{+\infty }2^{-n}=2.}$

Reste d'une série convergente

Si la série ${\displaystyle \sum x_{n}}$ est convergente, alors pour tout entier naturel n, la somme ${\displaystyle R_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }x_{k}}$ existe, et ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }R_{n}=0}$. Le terme R_n s'appelle le reste d'ordre n de la série ${\displaystyle \sum x_{n}}$.

Il est facile, par un procédé itératif, de calculer un terme de la suite des sommes partielles. Pour une série convergente, et pour tout naturel n, la relation entre la somme, la somme partielle d'ordre n et le reste d'ordre n s'écrit ${\displaystyle S=S_{n}+R_{n}.}$ Ainsi, si l'on sait borner le reste, la somme partielle peut être vue comme une valeur approchée de la somme, avec une incertitude connue.

Série et suite des termes généraux

Il est possible de retrouver le terme général à partir de la suite des sommes partielles par les formules ${\displaystyle a_{0}=S_{0}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.}$

Ainsi toute somme partielle est une suite, mais toute suite est également une somme partielle (associée à la série des différences des termes consécutifs, avec un premier terme nul). Selon le cas, on aura intérêt à considérer une suite comme une somme partielle, ou inversement, selon la facilité de l'analyse des termes.

Par ailleurs, si la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est convergente, alors la suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers 0. En effet, si l'on suppose que la série converge et a pour somme S, alors on a ${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\longrightarrow _{n\to +\infty }S-S=0}$. La réciproque est fausse (on peut prendre la série harmonique comme contre-exemple). Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Exemples : ${\displaystyle \sum (-1)^{n}}$ est une série grossièrement divergente ; en revanche, pour ${\displaystyle \sum {\frac {\ln n}{n}}}$, bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans d'autres théorèmes.

Calculs explicites

Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.

• Les séries géométriques sont celles dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant (appelé raison). La série de terme général zⁿ est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : |z| < 1.
  Exemples : ${\displaystyle \sum \left({\frac {1}{3}}\right)^{n}}$ et ${\displaystyle \sum {\frac {1}{(1+\mathrm {i} )^{n}}}}$ toutes deux convergentes.
• certaines séries peuvent être mises sous la forme${\displaystyle \sum \left(b_{n+1}-b_{n}\right)}$où la suite (b_n) a elle-même une expression simple. Les sommes partielles de la série, appelée alors parfois dans ce contexte série télescopique, se simplifient en (b_n – b₀). L'étude de la série se ramène donc à celle de la suite (b_n), dont la limite, si elle existe et est finie, permet de calculer la somme de la série.

Principes d'étude

Il existe un grand nombre de règles pour les séries à termes positifs. Elles sont toutes basées sur le principe de comparaison : si, pour tout entier n, on a ${\displaystyle 0\leq u_{n}\leq v_{n}}$, alors

• si la série ${\displaystyle \sum v_{n}}$ converge, la série ${\displaystyle \sum u_{n}}$ converge aussi ;
• si la série ${\displaystyle \sum u_{n}}$ diverge, la série ${\displaystyle \sum v_{n}}$ diverge aussi.

Cela reste vrai si l'on a les inégalités précédentes non plus pour tout entier n, mais pour tout entier n « assez grand » (c'est-à-dire à partir d'un certain rang), et conduit au résultat suivant :

• si les suites ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ tendent vers zéro et si ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1}$, les séries ${\displaystyle \sum u_{n}}$ et ${\displaystyle \sum v_{n}}$ sont simultanément convergentes ou divergentes.

Pour ces séries à termes positifs, il convient donc de déterminer la nature de certaines séries de références (telles que les séries géométriques ou les séries de Riemann), puis de comparer à ces séries.

L'étude des séries à termes réels ou complexes, sans hypothèse particulière, peut poser plus de problèmes. Une condition suffisante a une grande importance : si la série des valeurs absolues (série à termes réels) ou des modules (séries à termes complexes) ${\displaystyle \sum \left|a_{n}\right|}$ converge, alors la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converge également. Elle est alors dite absolument convergente.

Il existe des séries convergentes sans être absolument convergentes, comme la série harmonique alternée ${\displaystyle \sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}}$. Les méthodes d'étude pour ce type de série, plus techniques, (critère de convergence des séries alternées, théorème d'Abel, …) sont présentées dans l'article détaillé Série convergente.

Exemples de référence

• La série harmonique est la série : ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}}$. Cette série est divergente. On montre même que quand ${\displaystyle n\to +\infty }$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +o(1)}$ où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler.
• La série des inverses des factorielles est la série : ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}}$. Cette série a pour somme le nombre e (voir infra).
• Les séries de la forme :
  ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$ où α est un réel quelconque,
  sont convergentes si et seulement si α > 1. Des séries de ce type sont des séries de Riemann. Elles sont également définies pour α complexe et convergentes si et seulement si ${\displaystyle \Re e\ (\alpha )>1}$. La fonction zêta de Riemann est la fonction qui, au complexe α, associe la somme de cette série.
• Les séries de la forme :
  ${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }n}}}$, avec ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$,
  sont convergentes si et seulement si (α > 1) ou (α=1 et β > 1). Ces séries sont les séries de Bertrand.

Contre-exemple de référence

Attention : les critères de convergence concernant les séries à termes positifs peuvent ne pas s'appliquer dans le cas général. Un exemple typique est celui de la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$.

Elle est convergente, car c'est une série alternée dont le terme général tend vers zéro en décroissant en valeur absolue, mais pas absolument convergente : la série des valeurs absolues est une série de Riemann divergente.

Par contre, la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{\sqrt {n}}+(-1)^{n+1}}}}$ est divergente. Cet exemple illustre deux phénomènes :

1. si la valeur absolue du terme général d'une série alternée n'est pas décroissante, il peut y avoir divergence.
2. deux séries à termes positifs dont les termes généraux sont équivalents sont de même nature, mais cela est faux pour des séries à termes quelconques : ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{{\sqrt {n}}+(-1)^{n+1}}}}$ sont équivalents quand n tend vers l'infini.

Séries trigonométriques et séries de Fourier

Les séries trigonométriques sont obtenues en sommant des fonctions sinusoïdales de fréquence n f où f est une fréquence de référence donnée. Une question fondamentale en analyse harmonique est la possibilité de faire apparaître une fonction périodique donnée comme somme d'une série trigonométrique : sa série de Fourier.

Séries entières

La plupart des fonctions usuelles en mathématiques peuvent être représentées localement par une série de Taylor. Ce sont des séries dont le terme général s'écrit avec une puissance d'une variable ; elles sont appelées séries entières. Mais seulement dans certains cas.

Exemples

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}}$.

  Cette série est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vérifie : |z| < 1.

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{z}}$.

  Cette série est convergente pour tout nombre réel ou complexe z.

Historiquement, des mathématiciens comme Leonhard Euler travaillaient librement avec les séries, même si celles-ci n'étaient pas convergentes. Lorsque les bases du calcul ont été solidement posées au XIX^e siècle, des démonstrations rigoureuses de la convergence des séries ont été exigées. Cependant, les calculs formels avec des séries (pas forcément convergentes) sont à l'origine des séries formelles dans les anneaux, en algèbre générale, mais aussi en algèbre combinatoire pour décrire et étudier certaines suites grâce à leurs fonctions génératrices.

Séries de Dirichlet

Les séries ne sont pas vraiment des sommes

Il y a dans la définition des sommes de séries convergentes un calcul de somme finie, suivi d'un passage à la limite. Cette deuxième étape de passage à la limite fait que l'expression « somme infinie » n'est pas correcte pour qualifier les séries. Une telle « somme » n'est en effet ni commutative ni associative. Il n'est pas non plus possible, en général, de dériver une telle somme terme à terme par rapport à un paramètre.  

Les familles sommables ont des propriétés qui leur donnent beaucoup plus de titres à être qualifiées de « sommes infinies ». Alors que, dans le cas des séries, on ajoute les termes dans l'ordre de succession des indices u₀,u₁, … puis u_n, la notion de famille sommable demande d'obtenir un même résultat quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les sommations. Ainsi, pour les familles sommables, la propriété de commutativité est vraie par définition même.

Procédés de sommation des séries divergentes

Les procédés de sommation sont des types de convergence plus faibles permettant de définir la somme de certaines séries divergentes. Par exemple, le procédé de sommation de Cesàro donne pour résultat 1/2 lorsqu'on somme la série de Grandi

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots \,}$

Il est défini en calculant successivement les moyennes des n premiers termes de la suite des sommes partielles et en passant à la limite.

Les autres procédés de sommation les plus classiques sont la sommation d'Abel et la sommation de Borel.