Énoncé

Pour toute fonction réelle d'une variable réelle f : [a, b] → ℝ (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, il existe un réel c dans ]a, b[ vérifiant :

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).}$

Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.

On peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60 km/h, alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »

La solution c n'est pas unique en général. Plus précisément, pour une fonction dérivable sur un intervalle I, la solution c est unique pour tous a < b dans I si et seulement si f est strictement convexe ou strictement concave^[2] sur I.

Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont :

• le lien entre monotonie et signe de la dérivée ;
• le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C¹ en a).

Théorème des accroissements finis et intégration

• Une version intégrale du TAF est le théorème de la moyenne :
  Pour toute fonction u à valeurs réelles, continue sur un segment [a, b] avec a < b, il existe un réel c de ]a, b[ tel que${\displaystyle u(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}u(x)~\mathrm {d} x.}$
• L'analogue intégral du théorème des accroissements finis généralisé est un théorème de la moyenne généralisé :
  Pour toutes fonctions u et v à valeurs réelles, continues sur un segment [a, b] avec a < b, v gardant un signe constant sur [a, b], il existe un réel c de ${\displaystyle ]a,b[}$ tel que${\displaystyle u(c)\int _{a}^{b}v(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}u(x)v(x)~\mathrm {d} x.}$

Réciproque partielle

Pour la fonction sinus, la pente maximale des tangentes n'est pas la pente d'une corde.

Lorsque la valeur f'(c) = λ est atteinte en des points arbitrairement proches de c (ici : c = λ = 0), il arrive qu'aucune des cordes de pente λ ne traverse l'axe x = c.

Puisque le théorème des accroissements finis garantit que (pour une fonction ${\displaystyle f}$ vérifiant les hypothèses) tout taux d'accroissement est un nombre dérivé, une question naturelle est : réciproquement, tout nombre dérivé est-il un taux d'accroissement ?

La réponse est : non. Par exemple (cf. figure ci-contre), pour la fonction ${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } , le nombre dérivé ${\displaystyle \sin '\left(0\right)=\cos \left(0\right)=1}$ n'est pas un taux d'accroissement. Mais la pathologie de ce cas (${\displaystyle 1}$ est ici la valeur maximum de ${\displaystyle f'}$) est la seule obstruction.

Le théorème des accroissements finis possède en effet la réciproque partielle suivante (réciproque « faible^[7] ») :

Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ dérivable sur un intervalle, toute valeur non extrémale de ${\displaystyle f'}$ est un taux d'accroissement de ${\displaystyle f}$^[8].

Autrement dit : toute tangente au graphe de ${\displaystyle f}$ dont la pente ${\displaystyle f'(c)}$ n'est ni maximum, ni minimum, possède une parallèle sécante au graphe en deux points. Le TAF permet en outre d'affirmer^[8] que si la valeur ${\displaystyle f'(c)}$ n'est atteinte qu'au point ${\displaystyle c}$, alors les deux extrémités de la corde sont de part et d'autre du point de tangence^[7] (réciproque « forte »).

La « réciproque faible » ci-dessus se déduit du lemme suivant, qui (joint au TAF lui-même) permet aussi de démontrer que toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :

Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ dérivable sur un intervalle, tout réel strictement compris entre deux nombres dérivés de ${\displaystyle f}$ est un taux d'accroissement de ${\displaystyle f}$^[8].

La « réciproque forte » se localise facilement : pour toute fonction ${\displaystyle f}$ dérivable sur un intervalle, si ${\displaystyle \lambda =f'(c)}$ n'est pas un extremum local de ${\displaystyle f'}$ et si, au voisinage de ${\displaystyle c}$, la valeur ${\displaystyle \lambda }$ n'est atteinte par ${\displaystyle f'}$ qu'en ${\displaystyle c}$, alors ${\displaystyle \lambda }$ est encore un taux d'accroissement de ${\displaystyle f}$ entre deux points ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ tels que ${\displaystyle x<c<y}$^[7]. (Pour la nécessité de la seconde hypothèse, cf. figure ci-contre.)

Pour le théorème des accroissements finis généralisés, on démontre de même des réciproques analogues^[9].

Inégalité des accroissements finis

Soient a < b deux réels, E un espace localement convexe et deux fonctions

${\displaystyle f:[a,b]\to E\quad {\text{et}}\quad g:[a,b]\to \mathbb {R} }$

supposées continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.

Si g' est de signe constant alors, pour tout sous-ensemble convexe fermé A de E tel que

${\displaystyle \forall t\in ]a,b[\quad f'(t)\in g'(t)A,}$

on a :

${\displaystyle f(b)-f(a)\in (g(b)-g(a))A.}$

Lorsque g' est non seulement de signe constant mais à valeurs non nulles, la conclusion se reformule en :

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\in {\overline {\text{Co}}}\left(\left\{{\frac {f'(t)}{g'(t)}},~t\in ]a,b[\right\}\right),}$

où « Co » désigne l'enveloppe convexe fermée.

En particulier si g(t) = t, on obtient^[10] : f(b) – f(a) ∈ (b – a)Co({f'(t), t ∈ [a, b]}).

Remarques.

• Ce théorème est d'autant plus surprenant qu’il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n’y a pas d'égalité des accroissements finis mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par f(t) = e^it qui satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule pas sur [0, 2π].
• Il en découle qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle ne peut être que constante.
• Il se déduit directement de son homologue pour les fonctions à valeurs réelles, en utilisant le théorème de Hahn-Banach^[11] ou sa version géométrique qu'est le théorème d'Eidelheit^[12].
• Sa conclusion reste valide, avec une démonstration identique, sous des hypothèses plus faibles :
  • il suffit que f'(t) et g'(t) existent (et vérifient les propriétés indiquées) pour t appartenant au complémentaire d'un ensemble dénombrable^[11] ;
  • pour f, la continuité et la différentiabilité peuvent être prises au sens faible^[12].

Corollaire

On en déduit immédiatement le corollaire suivant (qui se démontre aussi directement^{[13],[14],[15]}) :

Soient a < b deux réels, E un espace vectoriel normé et deux fonctions

${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to E\quad {\text{et}}\quad g:[a,b]\to \mathbb {R} }$

supposées continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.

Si

${\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)}$

alors

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).}$

En particulier si, pour une certaine constante M (nécessairement positive ou nulle), on a

${\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M}$

alors

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a).}$

Fonction d'une variable vectorielle à valeurs vectorielles

Le corollaire précédent permet de majorer l'accroissement d'une fonction différentiable si l'on connaît une majoration de sa différentielle. Plus précisément^[16] :

Soient E et F deux espaces vectoriels normés réels, U un ouvert de E et f : U → F une application différentiable. Pour tout segment [a,b] inclus dans U, on a :

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|_{F}\leq \left(\sup _{x\in [a,b]}\|f\,{'}(x)\|\right)\|b-a\|_{E}}$

où, pour tout point x de U, ║f ' (x)║ est la norme d'opérateur de la différentielle de f au point x.

Ce corollaire est une conséquence immédiate du précédent, appliqué à la fonction de la variable réelle ${\displaystyle [0,1]\to F,\,t\mapsto f\left[(1-t)a+tb\right].}$

Il n'a bien sûr d'intérêt que si le sup qu'il fait intervenir est fini, c'est-à-dire si la différentielle de f est bornée sur [a, b]. Cette condition est assurée en particulier si f est de classe C¹ sur U.

Il se généralise à tout ouvert U connexe et à toute fonction dont la différentielle est bornée par k. Si d_U(a, b) est la borne inférieure des longueurs des lignes polygonales joignant a à b et incluses dans U, on a

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|_{F}\leq kd_{U}(a,b).}$

Article connexe

Le théorème de la corde universelle, qui étudie l'existence d'une corde parallèle à la base, au lieu d'une tangente.

Bibliographie

• Joseph-Louis Lagrange, « Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies », Journal de l'École polytechnique, 9^e cahier, t. III, 1797, § 52, p. 49
• Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan et les fondements de l'analyse, Publications mathématiques d'Orsay, Université de Paris-Sud, 1982. Selon cet auteur (p. 44), le premier traité d'analyse présentant une démonstration correcte du théorème des accroissements finis (et identique à la présentation moderne) est celui de Dini, paru en Italie en 1878.

Lien externe

« Théorème des accroissements finis », sur uel.unisciel.fr