Cinématique du point

Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pour le temps, une horloge^[2] ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les directions géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet de base est le point, sans dimension. Dans un repère cartésien, un point M est défini par ses coordonnées (x, y, z, t) et noté M(x, y, z, t).

Un objet réel est un volume, constitué d'une infinité de points. La cinématique du point consiste donc à étudier un point particulier d'un solide. On choisit des points caractéristiques, dont l'étude est simple et/ou donne des renseignements pertinents ; ce sont typiquement le centre de gravité du solide, qui joue un rôle important en dynamique, ou bien le point de contact du solide avec un autre. Si le solide est de petite dimension par rapport à son déplacement, et que l'on ne s'intéresse pas à sa rotation propre dans le référentiel, alors on peut se contenter de cette étude du point ; c'est le cas par exemple de la révolution des planètes dans le système solaire.

Les coordonnées définissent le vecteur position, qui dépend ainsi de la position et du temps^[3].

Le vecteur obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est indépendant du choix du point origine^[3].

${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}\partial x/\partial t\\\partial y/\partial t\\\partial z/\partial t\end{pmatrix}}}$

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur accélération

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\partial ^{2}x/\partial t^{2}\\\partial ^{2}y/\partial t^{2}\\\partial ^{2}z/\partial t^{2}\end{pmatrix}}}$

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur accélération par rapport au temps définit le vecteur d'à-coup

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\begin{pmatrix}\partial ^{3}x/\partial t^{3}\\\partial ^{3}y/\partial t^{3}\\\partial ^{3}z/\partial t^{3}\end{pmatrix}}}$

La mécanique du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et des forces.

L'équation horaire du mouvement

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=f_{1}(t)\\y=f_{2}(t)\\z=f_{3}(t)\end{matrix}}\right.}$

correspond à l’équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système de trois équations cartésiennes

${\displaystyle g_{i}(x,y,z)=0}$

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire :

${\displaystyle a\,x+b\,y+c\,z+d=0.}$

Définition de l'abscisse curviligne

Cette courbe est l’ensemble des points par où passe le centre d'inertie du mobile. On définit alors l'abscisse curviligne, notée s, la distance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t = 0). Pour un petit déplacement de M(x,y,z,t) à M(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt), l'abscisse curviligne est assimilable à un segment, d'où :

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}}={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

On a donc :

${\displaystyle s=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\mathrm {\,} \mathrm {d} t}.}$.

La notion commune de vitesse est en fait la dérivée de l'abscisse curviligne. On parle souvent de « vitesse scalaire »^[4] :

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$.

On a en fait

${\displaystyle \|{\vec {v}}\|={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$.

Cinématique du solide

Il est souvent important de prendre en compte la rotation du solide. Le premier modèle est celui du solide indéformable : si l'on considère deux points M₁ et M₂ quelconque du solide, alors la distance M₁M₂ reste constante au cours du temps.

On peut étudier la trajectoire de chaque point du solide, mais on peut aussi définir le mouvement du solide de manière globale. Pour cela, on attache un repère au solide, (O₁, x₁, y₁, z₁) ; l'origine O₁ est un point présentant un intérêt particulier, comme le centre de gravité, le centre d'un pivot (centre du cylindre d'un perçage), un sommet. La position du solide est alors définie par six paramètres :

• les coordonnées de O₁ dans le repère du référentiel ;
• les angles d'Euler, pour l'orientation dans l'espace.

Cinématique des fluides

Un fluide — liquide ou gaz — est constitué de nombreuses particules microscopiques, des molécules. Ces particules ont un mouvement chaotique, dit « mouvement brownien ». À ce mouvement se superpose un mouvement d'ensemble, le courant. Il serait illusoire de vouloir étudier chaque particule, on utilise donc une description statistique du mouvement.

Description qualitative des mouvements

Le mouvement d'un solide est en général caractérisé par deux termes : son type et sa nature. Le type de mouvement indique la manière dont la position évolue. Les termes typiquement employés sont :

• mouvement quelconque ;
• mouvement plan : les trajectoires des points sont planes, les plans sont tous parallèles (voir ci-dessous),
  • mouvement de translation : les trajectoires de tous les points du solide sont des segments courbes identiques, parallèles entre eux, le solide garde la même orientation au cours du mouvement,
    • mouvement de translation circulaire (schéma b ci-contre) : c'est le cas du balai d'essuie-glace d'autocar, et de manière générale le mouvement obtenu avec un parallélogramme déformable ; les trajectoires sont des arcs de cercle qui ont même rayon, même longueur (ouverture angulaire), mais projetés sur un plan, ils ont des centres différents,
    • mouvement de translation rectiligne de direction (Δ) : la trajectoire de tous les points du solide sont des segments de droite parallèles ) à la droite (Δ),
  • mouvement de rotation d'axe (Δ) : les trajectoires de tous les points du solide sont des arcs de cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite (Δ), et dont le centre est sur la droite (Δ) ; projetés sur un plan, les arcs de cercle sont concentriques.

La nature du mouvement donne une indication sur l'évolution de la vitesse :

• mouvement uniforme : la norme des vecteurs vitesse est constante ; cela ne peut être valable que pour une durée définie, puisqu'un mouvement a toujours une phase de démarrage et d'arrêt ;
• mouvement varié : la norme des vecteurs vitesse varie,
  • mouvement uniformément varié : la norme des vecteurs vitesse varie de manière linéaire avec le temps ; cela ne peut être valable que pour une durée définie, puisque la norme finit par croître de manière infinie ; cette situation est une approximation des phases de démarrage et d'arrêt des machines.

On a ainsi quatre mouvements solides simples.

En cinématique du point, on ne parle pas de mouvement de rotation, mais de mouvement circulaire.

Si l'on considère maintenant la trajectoire d'un point donné, on la caractérise par un « élément géométrique caractéristique », c'est-à-dire la courbe mathématique qu'il suit, si tant est qu'on puisse la définir de manière simple. Typiquement, c'est un « arc de cercle de entre A », un « segment de droite de direction ${\displaystyle {\vec {u}}}$ », ou une courbe plus complexe (ellipse, parabole, hyperbole).

Mouvement rectiligne

Le cas le plus simple est celui du mouvement rectiligne : la trajectoire décrite est une droite. Mouvement dans lequel tout segment reliant deux points du solide reste parallèle à lui-même au cours du temps est aussi une définition classique du mouvement rectiligne.

Mouvement circulaire

Le centre d'inertie du mobile décrit un cercle. Cela peut être un mobile contraint à suivre cette trajectoire comme une bille dans une gouttière circulaire, un pendule à fil dont le fil reste tendu, ou un train sur un rail circulaire.

Le vecteur vitesse varie, donc le mobile subit une accélération. Ceci justifie la distinction entre la notion de mouvement varié (dont la norme de la vitesse varie) et de mouvement accéléré (dont le vecteur vitesse varie, en norme et/ou en direction).

Mouvement circulaire uniforme

Le mouvement est dit circulaire uniforme si la norme ${\displaystyle v\,}$ de la vitesse est constante. L'équation horaire est alors du type :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x_{\mathrm {C} }+r\,\cos \theta (t)\\y=y_{\mathrm {C} }+r\,\sin \theta (t)\\\theta (t)=\theta _{0}+\omega \,t\\\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle (x_{\mathrm {C} }}$, ${\displaystyle y_{\mathrm {C} })}$ sont les coordonnées du centre du cercle, ${\displaystyle r}$ le rayon du cercle et ${\displaystyle \omega }$ la vitesse angulaire du centre d'inertie du mobile, exprimée en radians par seconde (rad/s ou rad s⁻¹). La plupart du temps, on choisit ${\displaystyle \theta _{0}=0}$, l'équation horaire devient alors :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x_{\mathrm {C} }+r\,\cos(\omega \,t)\\y=y_{\mathrm {C} }+r\,\sin(\omega \,t)\\\end{matrix}}\right.}$

On a :

${\displaystyle v=r\,\omega .}$

Le vecteur vitesse est tangent au cercle ; on a :

${\displaystyle s=v\,t=r\omega \,t=r\,\theta .}$

On voit aussi que l'accélération est toujours dirigée vers le centre du cercle (on parle d’accélération centrale centripète), et sa norme vaut

${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$

Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré (${\displaystyle r}$ est faible), plus l'accélération est importante.

Mouvement circulaire uniforme : la vitesse est tangentielle et l'accélération est centripète — accélération et vitesse n'étant pas homogènes, on utilise une échelle différente pour ces deux types de vecteur.

Dans le repère de Frenet, on a :

${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix}}}$   et   ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}0\\-v^{2}/r\end{pmatrix}}.}$

Mouvement elliptique

Le centre d'inertie du mobile décrit une ellipse (le mouvement circulaire est un cas particulier de mouvement elliptique). Cela peut être le mouvement d'une voiture sur une courbe suivant un arc d'ellipse, ou bien celui d'un satellite autour d'une planète dans un référentiel galiléen dans lequel la planète est fixe, ou encore le mouvement d'une planète ou d'une comète autour d'une étoile ; le centre de gravité du système est alors à un des foyers de l'ellipse (ce centre de gravité se confond quasiment avec le plus massif des deux objets quand le rapport des deux masses est très élevé).

On définit la vitesse aréolaire comme étant l'aire balayée par un rayon joignant le foyer au centre d'inertie du mobile.

Dans le cas des mouvements orbitaux, le moment cinétique  ${\displaystyle {\vec {\mathrm {L} }}_{\mathrm {F} }}$ par rapport à un foyer F est constant (ceci peut se déduire du principe de conservation du moment cinétique d'un système isolé) :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {L} }}_{\mathrm {F} }={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}}$

où

• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ est le vecteur reliant le foyer au mobile ;
• ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ est la quantité de mouvement du mobile (m est la masse, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ le vecteur vitesse)
• ${\displaystyle \wedge }$ désigne le produit vectoriel.

Approximation tangentielle

Détermination de la vitesse et de l'accélération à partir d'un relevé des positions à des instants séparés de  ${\displaystyle \delta t.}$

En général, le mouvement du centre d'inertie d'un mobile est enregistré de manière échantillonnée, c'est-à-dire que l'on a des points discrets correspondant à des positions à des instants séparés d'une durée  ${\displaystyle \delta t.}$  Si l'on considère trois points consécutifs  ${\displaystyle \mathrm {M} _{1},}$  ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}}$  et  ${\displaystyle \mathrm {M} _{3},}$  correspondant à des instants  ${\displaystyle t_{1}-\delta t,}$  ${\displaystyle t_{1}}$  et  ${\displaystyle t_{1}+\delta t}$.

La première approximation consiste à dire que la tangente en  ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}}$  est parallèle à la corde  ${\displaystyle \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{3}.}$  Ceci est légitimé par un théorème mathématique disant que pour une fonction continue et dérivable sur un intervalle, il existe un point de cet intervalle dont la dérivée vaut la pente entre les points extrêmes de la courbe sur cet intervalle (voir Théorème des accroissements finis). On peut aussi rapprocher cela du fait que sur un cercle, la médiatrice d'une corde passe par le milieu de la corde et est perpendiculaire à la tangente au milieu de la corde (puisque c'est un rayon).

La deuxième approximation consiste à estimer la norme de la vitesse constante entre  ${\displaystyle \mathrm {M} _{1}}$  et  ${\displaystyle \mathrm {M} _{3},}$  ce qui est acceptable si la durée est petite par rapport à l'accélération tangentielle. On estime donc que l'on a :

${\displaystyle v(t_{1})={\frac {s_{3}-s_{1}}{2\,\delta t}}\,}$

La variation de ce vecteur vitesse donne le vecteur accélération. La composante tangentielle vaut :

${\displaystyle a_{x}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}}$

ou, par approximation :

${\displaystyle a_{x}={\frac {v_{x}(t_{1}+\delta t)-v_{x}(t)}{\delta t}}={\frac {v(t_{1}+\delta t)-v(t)}{\delta t}};}$

en effet, dans le repère de Frenet, on a  ${\displaystyle v_{x}(t)=v(t),}$  et on fait l'approximation  ${\displaystyle v_{x}(t+\delta t)=v(t+\delta t)}$  (approximation d'ordre 0). La composante normale est donnée par la variation de direction du vecteur vitesse ; on a  ${\displaystyle v_{y}(t_{1})=0}$  par définition du repère de Frenet, soit :

${\displaystyle a_{y}={\frac {v_{y}(t_{1}+\delta t)}{\delta t}}}$  (approximation d'ordre 1, puisque l'ordre 0 est nul).

Dans le cas où le mouvement est lent par rapport à la précision de la mesure, la position enregistrée va avoir des variations dues aux incertitudes de mesure ; ainsi, au lieu d'avoir une courbe lisse, on va avoir une courbe présentant des oscillations (du bruit). Si l'on prend les points tels quels, on va calculer des vitesses instantanées incohérentes qui vont se répercuter sur les calculs des accélérations. Si les données sont traitées de manière informatique, on effectue donc un lissage des données.

Rayon de courbure

Choisissons sur une courbe C un point M₀ comme origine, puis désignons par M(t) la position du mobile à l'instant t, et par s = M₀M l'abscisse curviligne du point M. La vitesse du mobile peut s'écrire :

${\displaystyle {\vec {v}}=v{\vec {u}}}$

où ${\displaystyle {\vec {u}}}$ désigne le vecteur unitaire tangent à C.

On définit en tout point le rayon de courbure ρ de la trajectoire par :

${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}}$

où dθ est l'angle formé entre les deux vecteurs vitesse aux points M(t) et M(t + dt).

Enseignement et travaux pratiques

Le prérequis pour faire une étude cinématique consiste à enregistrer le mouvement. Dans le cadre de l'enseignement, on étudie en général le mouvement de palets autoporteurs. Ce sont des appareils cylindriques sur coussin d'air (un jet d'air les maintient quelques millimètres au-dessus de la table), ce qui leur permet de glisser sans frottement (on néglige les frottements de l'air). On utilise une table conductrice d'électricité avec un papier spécial ; reliés à une base de temps (une horloge qui délivre des impulsions électriques à des instants espacés de ${\displaystyle \delta t\,}$), les palets autoporteurs provoquent des étincelles qui marquent le papier spécial. Ainsi, chaque point sur le papier correspond à la position du centre d'inertie à un instant donné. Ceci permet d'étudier le mouvement sur un plan horizontal et incliné, éventuellement avec deux palets (indépendants, reliés par un élastique ou s'entrechoquant).

Pour étudier la chute libre, on utilise un objet lourd et profilé, une sorte d'obus métallique, que l'on fait tomber verticalement dans une cage (afin qu'il ne bascule pas après l'impact sur la zone de réception). On colle une feuille de papier dessus, et la cage est munie d'une « lance rotative », projetant un fin jet d'encre. La lance tournant selon une fréquence constante, chaque trait sur le papier marque le point présent au niveau de la lance à un moment donné.

Grâce à la réduction du coût du matériel informatique, on peut maintenant disposer d'un caméscope numérique. On peut donc filmer le mouvement (le caméscope étant fixe, posé sur un pied), puis en affichant les images une par une, relever la position de l'objet pour chaque image (en France, la vidéo enregistre 25 images par seconde).

Sur la route

Les forces de police s'intéressent en général uniquement à la vitesse et disposent de cinémomètres à effet Doppler-Fizeau, improprement appelés « radars ». Ceux-ci permettent de mesurer directement la vitesse instantanée. Lorsque s'est produit un accident, les traces de freinage, et les éventuelles traces d'impact sur le mobilier urbain ou les rails de sécurité, permettent de recomposer la trajectoire des véhicules. Notamment, la longueur des traces de freinage permet d'estimer la vitesse avant le début du freinage (la force de freinage étant constante).

Le conducteur, quant à lui, dispose d'un tachymètre (indicateur de vitesse) sur son tableau de bord, qui lui permet de connaître également sa vitesse instantanée. Il se base en général sur la fréquence de rotation des roues ; par exemple, une pastille réfléchissante est collée sur l'arbre de transmission, et une cellule photo-détectrice permet de connaître le temps qui s'écoule entre deux passage de la pastille, donc la fréquence de rotation et par là la vitesse.

Les cyclistes mettent un aimant sur un rayon de la roue avant et un détecteur magnétique sur la fourche, ce qui leur permet, de la même manière, de mesurer la vitesse et le chemin parcouru. D'anciens systèmes étaient basés sur une petite roue tournant, entraînée par la roue du vélo.

Les marcheurs disposent de podomètres qui détectent les vibrations caractéristiques du pas. Le marcheur ayant rentré la longueur moyenne de son pas, l'appareil peut déterminer la distance parcourue ainsi que la vitesse (produit de la longueur du pas par la fréquence de pas).

La vidéo couplée à l'analyse informatisée des images permet également de déterminer la position et la vitesse des véhicules. Ceci est utilisé pour estimer le trafic et détecter les embouteillages, et pourrait faire son apparition dans les véhicules dans un avenir proche, afin de fournir une aide à la conduite (par exemple évaluation des distances de sécurité en fonction de la vitesse, détection de trajectoires anormales et de freinage d'urgence).

Navigation maritime et aérienne

Aux débuts de la navigation maritime côtière, les marins se repéraient grâce aux reliefs de la côte. Les éléments caractéristiques (villes, phares, églises…), appelés amers, sont toujours utilisés et permettent une localisation rapide et simple, facilement exploitable en cas de demande de secours (voir Navigation par relèvements).

La navigation au long cours est possible en utilisant les étoiles comme repère, c'est la notion de navigation astronomique ; elle était utilisée traditionnellement par les Polynésiens^[7] (voir Peuplement de l'Océanie > Navigations austronésiennes). En Europe, elle a été rendue possible grâce au développement des horloges ; en effet, elle utilisait la position des astres, or celle-ci varie avec l'heure. Connaissant la date et l'heure, et muni d'une éphéméride (relevé des positions des étoiles selon la date et l'heure), les astres jouaient alors le même rôle que les repères côtiers.

La boussole permet de déterminer le cap que l'on suit, et pour un navire, la vitesse peut être estimée par la vitesse du vent et les courants. Ceci permet d'anticiper la trajectoire.

Pour se repérer, les aviateurs et marins naviguant aux instruments disposent des signaux émis par des antennes. À la fin des années 1960–début des années 1970, certains pays développent des réseaux d'antennes terrestres, comme le système de navigation Oméga ou bien le système LORAN-C. Puis, à la fin des années 1970 sont lancés des satellites (système GPS, GLONASS, futur système Galileo) . Les antennes émettent des signaux synchronisés, et le décalage entre la réception des signaux permet de déterminer la position sur le globe terrestre (voir Système de positionnement) ; ces systèmes sont également accessibles aux véhicules terrestres et aux piétons. Pour le décollage et l'atterrissage, les avions disposent de balises radio posées au sol leur donnant un repérage précis par rapport à la piste, permettant des manœuvres sans visibilité (de nuit ou par mauvais temps), voir les articles Vol aux instruments et VHF Omnidirectional Range.

Les systèmes de surveillance aérienne (tour de contrôle, aviation civile, armée) ou nautique (CROSS, centre régional opérationnel de surveillance et de sauvetage), ainsi que certains avions et navires, sont munis de radars. Ces dispositifs émettent une impulsion radio dans toutes les directions (en général avec une antenne tournante). Une impulsion revient si elle rencontre un obstacle ; le temps qu'elle met à revenir permet de déterminer la distance de l'obstacle, et le décalage en fréquence permet de déterminer la vitesse de l'obstacle (effet Doppler-Fizeau).

Articles connexes

• Repère de Frenet
• Dérivation vectorielle