Exemple 1

Les variables liées par un quantificateur universel ∀ traduisent l'universalité d'une propriété, c'est-à-dire le fait que la dite propriété est satisfaite par tous les objets d'un certain domaine.

Par exemple, nous remarquons que

${\displaystyle (1+0)^{2}\geq 1}$

${\displaystyle (1+1)^{2}\geq 1+2\times 1}$

${\displaystyle (1+(-0,5))^{2}\geq 1+2\times (-0,5)}$

Alors nous pouvons conjecturer que :

pour tout nombre ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (1+x)^{2}\geq 1+2\times x}$

Si par un raisonnement cette affirmation est démontrée alors il sera possible de l'utiliser pour n'importe quel nombre donné. Pour démontrer ce théorème, il suffit de considérer une variable ${\displaystyle x}$ représentant un nombre réel quelconque et de développer:

${\displaystyle (1+x)^{2}=1+2\times x+x^{2}\,}$

D'autre part nous savons que tout nombre réel élevé au carré est positif, donc ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$. De plus en ajoutant de chaque côté de cette dernière inégalité ${\displaystyle 1+2\times x}$, il vient

${\displaystyle 1+2\times x+x^{2}\geq 1+2\times x}$

donc

${\displaystyle (1+x)^{2}\geq 1+2\times x}$.

La propriété est donc universelle.

Les variables liées par un quantificateur existentiel ∃ traduisent l'existence d'objets vérifiant une certaine propriété.

Par exemple, le théorème suivant :

deux droites non parallèles du plan se coupent en un point,

affirme qu'il existe un point appartenant à deux droites non parallèles, sans le donner par une formule.

Dans le cadre d'une démonstration, en partant de deux droites non parallèles on pourra utiliser le théorème et affirmer qu'il existe un point ${\displaystyle M}$ commun à ces deux droites. En fait ${\displaystyle M}$ est une variable représentant ce point et cette définition de la variable ${\displaystyle M}$, va nous permettre de travailler avec ce point.

Exemple 2

Soient ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, les énoncés suivants signifient exactement la même chose :

${\displaystyle i)\,\forall \epsilon >0,\exists \eta >0,\forall y\in \mathbb {R} ,|x-y|<\eta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

${\displaystyle ii)\,\forall \epsilon >0,\exists \alpha >0,\forall y\in \mathbb {R} ,|x-y|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

${\displaystyle iii)\,\forall \epsilon >0,\exists \alpha >0,\forall \spadesuit \in \mathbb {R} ,|x-\spadesuit |<\alpha \Longrightarrow |f(x)-f(\spadesuit )|<\epsilon }$

${\displaystyle iv)\,\forall y>0,\exists \epsilon >0,\forall \alpha \in \mathbb {R} ,|x-\alpha |<\epsilon \Longrightarrow |f(x)-f(\alpha )|<y}$

${\displaystyle v)\,f{\text{ est continue en }}x}$

Dans ce cas, les variables ${\displaystyle \epsilon ,\,\eta ,\,\alpha ,\,y,\,\spadesuit }$ sont liées^[4], ceci se remarque très bien dans ce cas car l'énoncé se résume sans les utiliser.

Et dans tout cet exemple, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle x}$ sont des variables libres, en effet, tout cela est équivalent à :

Soient ${\displaystyle g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$, les énoncés suivants signifient exactement la même chose :

${\displaystyle i)\,\forall \epsilon >0,\exists \eta >0,\forall y\in \mathbb {R} ,|z-y|<\eta \Longrightarrow |g(z)-g(y)|<\epsilon }$

${\displaystyle ii)\,\forall \epsilon >0,\exists \alpha >0,\forall y\in \mathbb {R} ,|z-y|<\alpha \Longrightarrow |g(z)-g(y)|<\epsilon }$

${\displaystyle iii)\,\forall \epsilon >0,\exists \alpha >0,\forall \spadesuit \in \mathbb {R} ,|z-\spadesuit |<\alpha \Longrightarrow |g(z)-g(\spadesuit )|<\epsilon }$

${\displaystyle iv)\,\forall y>0,\exists \epsilon >0,\forall \alpha \in \mathbb {R} ,|z-\alpha |<\epsilon \Longrightarrow |g(z)-g(\alpha )|<y}$

${\displaystyle v)\,g{\text{ est continue en }}z}$

Et si l'on pose, par exemple ${\displaystyle f=\exp }$ et ${\displaystyle x=0}$, les énoncés précédent deviennent des propositions, qui sont, dans ce cas, vraies.