Trois paquets de cinq

Si trois paquets contiennent chacun cinq friandises, alors au total ils contiennent 3 × 5 friandises. Ce produit de trois par cinq est égal à une somme de trois termes égaux à cinq. Et trois fois cinq font quinze.

${\displaystyle 5\;+\;5\;+\;5\;=\;3\times 5\;=\;15.}$

Cinq virages à droite

Dans l’expression française « une fraction d’une grandeur », la préposition « de » se traduit en mathématiques par un symbole de multiplication. Ce symbole est sous-entendu dans le produit f g qui représente la fraction f de la grandeur g. Produit qui vaut deux cinquièmes de trois cent soixante degrés si f = 2/5 et g = 360°

${\displaystyle {\frac {2}{5}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,{\frac {4}{10}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,0{,}4\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,4\,\times 36\,^{\circ }\,=\,144\,^{\circ }.}$

Imaginons un robot mobile, qui effectue des trajets rectilignes successifs de même longueur d. Ces trajets partiels sont représentés en géométrie plane par des segments égaux successifs. Supposons qu’entre deux trajets rectilignes, le robot à l’arrêt tourne à droite sur lui-même de 144°. Quand il a répété cinq fois la manœuvre suivante : avancer tout droit d’une longueur d puis tourner à droite sur lui‑même de 144°, il revient à son point de départ. Son parcours polygonal fermé est représenté par un pentagone régulier étoilé (symbole de Schläfli {5/2}), de périmètre 5d). Pendant tout son trajet fermé, le robot tourne dans le sens horaire autour du centre du polygone régulier, d’un angle de 5 × 144° = 720° = 2 × 360°. Il effectue deux tours complets autour du centre du pentagone étoilé.

Vocabulaire

Dans un produit de deux facteurs, le premier facteur est nommé par convention multiplicande et le second multiplicateur. Inverser leurs valeurs ne change jamais le résultat, à la différence de l’inversion du dividende et du diviseur dans une division.

multiplicande × multiplicateur

L'opérateur est le signe multiplication « × »^[1], un point « . » sur la ligne quand le séparateur décimal est la virgule et un point opérateur « ⋅ » (médian)^[2] lorsque le point sur la ligne sert déjà de séparateur décimal, comme dans la convention anglo-saxonne ; en programmation informatique, les langages utilisent en général l'astérisque « * » (signe étoile). Il est omis quand il est présent sans ambigüité, par exemple dans une expression comme 3a.

Principe pour les nombres entiers

Dans le cas des entiers naturels, la multiplication revient à faire des additions de nombres identiques. Quand on dit, par exemple, « cinq multiplié par sept », cela signifie que l'on répète sept fois un ensemble de cinq éléments. Ainsi :

${\displaystyle 5\times 7=5+5+5+5+5+5+5=35.}$

Par ailleurs, parmi les différentes propriétés algébriques de la multiplication de nombres, la commutativité peut-être explicitée : l'ordre des facteurs n'influe pas sur le résultat^[3] :

${\displaystyle 7\times 5=7+7+7+7+7=35=5\times 7.}$

Ces expressions se lisent respectivement « cinq multiplié par sept » (ou « 7 fois 5 ») et « sept multiplié par cinq » (ou « 5 fois 7 »).

Cette opération peut aussi se noter, pour des besoins techniques,

	5
×	7
	35

Le résultat peut être obtenu :

• par consultation d'un répertoire de résultats connus, tel qu'une table de multiplication ;
• par l'exécution d'un algorithme (de tête, à la main avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'un calculateur) :
  • l'algorithme le plus simpliste se résume en additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable),
  • pour des nombres plus grands mais encore de taille raisonnable, il existe des méthodes plus efficaces qui font partie du bagage culturel,
  • l'informatique moderne a suscité des techniques encore plus élaborées, certaines étant des objets de recherche.

Principe pour les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre entier qui a été divisé par une puissance de dix (1 — c'est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). La distributivité de la multiplication sur la division permet de calculer les multiplications de nombres décimaux comme celle des nombres entiers :

1. on ignore les virgules et l'on multiplie les nombres comme si c'étaient des entiers ;
2. le nombre de chiffres après la virgule du résultat final est la somme du nombre de chiffres après la virgule du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple pour calculer 5,3 × 0,21 :

• on calcule 53 × 21, ce qui donne 1 113 ;
• le multiplicande a un chiffre après la virgule, le multiplicateur en a deux, le résultat en a donc trois (1 + 2) : le résultat final est 1,113.