استخطاط

في الرياضيات, الإخطاط (linearization)‏ هو عملية الهدف منها تقريب معادلة أو نظام حركي غير خطي الذي يوصف بمعادلات تفاضلية غير خطية بنظام حركي خطي، وذلك لما تحمله النظم الخطية من سهولة في المعالجة.^[1] تستخدم هذه الطريقة في العديد من فروع العلوم مثل الهندسة التطبيقية والفيزياء والاقتصاد وعلم البيئة.

إخطاط دالة

مثال:اخطاط دالة (sin(x عند نقطتين
بالأزرق: ${\displaystyle x_{0}=0}$
بالأخضر: ${\displaystyle x_{0}={\frac {3\cdot \pi }{4}}}$

إخطاط دالة هو عبارة عن خط مستقيم يستخدم في أغراض تبسيط الحساب. عادة يتم إخطاط أي دالة ${\displaystyle {\mathcal {}}y=f(x)}$ عند نقطة ${\displaystyle {\mathcal {}}x=a}$ باستخدام ميل الدالة عند ${\displaystyle {\mathcal {}}x=b}$، وذلك بافتراض أن ${\displaystyle {\mathcal {}}f(x)}$ هو دالة مستمرة على المجال ${\displaystyle {\mathcal {}}[a,b]}$ وأن ${\displaystyle {\mathcal {}}a}$ قريبة جداً من النقطة ${\displaystyle {\mathcal {}}b}$.

يعطى إخطاط لدالة مستمرة عند النقطة ${\displaystyle {\mathcal {}}x=a}$ بالمعادلة:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)\,}$

حيث ${\displaystyle {\mathcal {}}x=a}$, ${\displaystyle {\mathcal {}}f(a)=f(x)}$. مشتق الدالة ${\displaystyle {\mathcal {}}f(x)}$ هو ${\displaystyle {\mathcal {}}f'(x)}$، وميل الدالة ${\displaystyle {\mathcal {}}f(x)}$ عند النقطة ${\displaystyle {\mathcal {}}a}$ هو ${\displaystyle {\mathcal {}}f'(a)}$.

مثال

على سبيل المثال، قد تعلم أن ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$، ولكن وبدون آلة حاسبة ما الذي يمكن أن يكون تقريباً جيداً للقيمة ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$ ؟

من أجل إيجاد قيمة ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$، نستخدم معرفتنا بأن ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. وعندها يكون إخطاط ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ عند النقطة

${\displaystyle {\mathcal {}}x=a}$

${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$

، لأن الدالة ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ تعرف ميل الدالة ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ عند ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$. وبتعويض قيمة ${\displaystyle {\mathcal {}}a=4}$، يكون إخطاط عند ${\displaystyle {\mathcal {}}4}$ مساوياً ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$. وفي هذه الحالة ${\displaystyle {\mathcal {}}x=4.001}$، إذاً ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ يساوي تقريباً

${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$. القيمة الحقيقية قريباً جداً من ${\displaystyle {\mathcal {}}2.00024998}$ ؛ وبهذا يكون تقريب إخطاط ذو خطأ أقل من 1 بالمليون بالمائة.

مواضيع متعلقة

• مبرهنة الإخطاط
• مصفوفة جاكوبي
• متسلسلة تايلور
• مبرهنة هارتمان غروبمان

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات